에르미트 행렬의 서로 다른 고유값의 고유벡터는 서로 수직이다
정리
$A$를 크기가 $n \times n$인 에르미트 행렬이라고 하자. $A$ 의 서로 다른 두 고유값 $\lambda , \mu$ 에 대한 고유 벡터를 $\mathbf{x}$, $\mathbf{y}$라고 하자. 즉
$$ \begin{align*} A \mathbf{x} =& \lambda \mathbf{x} \quad \\ A \mathbf{y} =& \mu \mathbf{y} \end{align*} $$
그러면 두 고유 벡터는 서로 직교한다.
$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$
설명
에르미트 행렬은 고유값이 모두 실수라는 성질뿐만 아니라 그들에 대응하는 고유벡터가 서로 직교한다는 성질을 가지고 있다. 이러한 성질들이 있으면 분명 어딘가의 증명에서 유용하게 쓰일 수 있을 것이다. 원래 고유값의 개념을 생각해보면 당연한 것 같지만 정의를 잘 보면 결코 당연하지 않다.
증명
가정에서 $\mathbf{x}$ 는 $\lambda$ 의 고유벡터, $\mathbf{y}$ 는 $\mu$ 의 고유벡터다. $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$에서 양변의 왼쪽에 $\mathbf{y}^{\ast}$를 곱하면 다음과 같다.
$$ \begin{equation} \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{lambda} \end{equation} $$
마찬가지로 $A \mathbf{y} = \mu \mathbf{y}$에서 양변의 왼쪽에 $\mathbf{x}^{\ast}$를 곱하면 다음과 같다.
$$ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} = \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} $$
$\mu$ 는 실수이고 $A$ 는 에르미트 행렬이므로 위의 식의 양변에 켤레 전치 $^{\ast}$를 취하면 다음과 같다.
$$ \begin{align} && \left( \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{y} \right)^{\ast} =& \left( \mu \mathbf{x}^{\ast} \mathbf{y} \right)^{\ast} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A^{\ast} \mathbf{x} =& \mu^{\ast} \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \notag{} \\ \implies && \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} =& \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} \label{mu} \end{align} $$
그러면 $\eqref{lambda}$과 $\eqref{mu}$ 에 의해 다음의 식이 성립한다.
$$ \lambda \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = \mathbf{y}^{\ast} A \mathbf{x} = \mu \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} $$
좌변으로 정리하면 다음과 같다.
$$ (\lambda - \mu ) \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0 $$
가정에 의해 $\lambda$와 $\mu$은 서로 다른 실수이므로
$$ \mathbf{y}^{\ast} \mathbf{x} = 0 \implies \mathbf{y} \cdot \mathbf{x} = 0 $$
그러므로
$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$
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