📂기하학

접속의 대칭성

정의¹

미분다양체 $M$ 위의 아핀 접속 $\nabla$가 다음을 만족을 때 대칭^symmetric이라고 한다.

$$ \nabla_{X}Y - \nabla_{Y} X = \left[ X, Y \right] \quad \forall X,Y \in \mathfrak{X}(M) $$

이때 $\mathfrak{X}(M)$은 $M$ 위의 벡터필드들의 집합, $[ \cdot, \cdot]$은 리 브라켓이다.

설명

유클리드 공간을 예로 들자. $\mathbb{R}^{n}$의 좌표계 $(U, \mathbf{x})$를 생각해보자. $X_{i} = \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}$라고 표기하면,

$$ \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = [X_{i}, X_{j}] = X_{i}X_{j} - X_{j}X_{i} = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{i}x_{j}} - \dfrac{\partial ^{2}}{\partial x_{j}x_{i}} = 0 \\ \implies \nabla_{X_{i}}X_{j} = \nabla_{X_{j}}X_{k} $$

또한 $\nabla_{X_{i}}X_{j} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k}$이므로,

$$ \nabla_{X_{i}}X_{j} - \nabla_{X_{j}}X_{i} = \Gamma_{ij}^{k}X_{k} - \Gamma_{ji}^{k}X_{k} = (\Gamma_{ij}^{k} - \Gamma_{ji}^{k})X_{k} = 0 $$

따라서 $\Gamma_{ij}^{k} = \Gamma_{ji}^{k}$가 성립한다.