📂선형대수

동형사상

정의¹

두 벡터공간 $V, W$에 대해서, 가역인 선형변환 $T : V \to W$가 존재하면, $V$가 $W$와 동형^{$V$ is isomorphic to $W$}이라하고, 다음과 같이 표기한다.

$$ V \cong W $$

또한 $T$를 동형사상^isomorphism이라 한다.

설명

가역일 동치조건에 의해 $T$가 동형사상이라는 말은 $T$가 전단사 함수라는 말과 같다. 따라서 전단사 함수 $T : V \to W$가 존재하면, $V, W$는 동형이다.

$V, W$가 동형이라는 말은 $V$나 $W$나 사실상 다른게 없다는 말이다.

정리

$V, W$가 유한차원 벡터공간하자. 그러면 $V$와 $W$가 동형인 것의 필요충분조건은 $\dim (V) = \dim (W)$가 성립하는 것이다.

따름정리

$V$를 벡터공간이라고 하자. 그러면 $V$가 $\mathbb{R}^{n}$과 동형인 것의 필요충분조건은 $\dim (V) = n$인 것이다.

증명

$(\Longrightarrow)$

$T : V \to W$가 동형사상이라고 가정하자. 그러면 $T$는 가역이고, 가역선형변환의 성질에 의해

$$ \dim (V) = \dim (W) $$

$(\Longleftarrow)$

$\dim (V) = \dim (W)$라고 가정하자. $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}, \gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{n} \right\}$를 각각 $V, W$의 기저라고 하자. 그러면 유한차원 벡터공간 사이에는 다음과 같은 선형변환이 존재한다.

$$ T : V \to W \quad \text{ by } \quad T(\mathbf{v}_{i}) = \mathbf{w}_{i} $$

또한 그러면 $T(\beta) = \gamma$이고, $T(\beta)$는 $R(T)$를 생성하므로,

$$ R(T) = \span (T(\beta)) = \span (\gamma) = W $$

따라서 $T$는 전사이다. 그러면 $\dim (V) = \dim (W)$라고 가정했으므로 $T$는 단사이기도 하다. 그러므로 전단사 함수 $T : V \to W$가 존재하여, $V$와 $W$는 동형이다.

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