📂기하학

미분다양체 위의 평행한 벡터필드

정의¹

$M$을 아핀 접속 $\nabla$가 주어진 미분다양체라고 하자. 곡선 $c : I \to M$을 따르는 벡터필드 $V$가 다음의 조건을 만족하면 평행하다^parallel고 한다.

$$ \dfrac{DV}{dt} = 0,\quad \forall i \in I $$

정리

$M$을 아핀 접속 $\nabla$가 주어진 미분다양체라고 하자. $c : T \to M (t\in I)$를 미분가능한 곡선이라고 하자. $V_{0}$를 $c(t_{0})$에서의 탄젠트 벡터라고 하자.

$$ V_{0} \in T_{c(t_{0})}M $$

그러면, $V(t_{0}) = V_{0}$를 만족하는 $c$를 따르는 평행한 벡터필드 $V$가 유일하게 존재한다.

설명

평행한 벡터필드가 좋은 이유는 미분해서 $0$이므로 계산량이 줄어 편하기 때문이다.

위 정리에 의해서 $V(t)$는 아래 그림과 같이 나타나므로, $V(t)$를 $V_{0}$의 평행이동^{parallel translation}이라 한다.

증명

전략: 모든 $t \in I$에 대해서, 평행한 벡터필드가 존재하는 근방이 있음을 보이는 것으로 증명한다. 그러면 아래 그림과 같이 해당 부분의 끝을 다시 새로운 시작점으로 잡으면 그곳에서부터 어떤 근방까지의 존재성이 보장되므로, 전체 영역에 대해서 정리가 성립하게 된다.

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좌표계 $\mathbf{x} : U \to M$을 하나 선택하자. $c(I)$가 어떤 좌표 근방 $\mathbf{x}(U)$에 포함된다고 가정하자.

$$ c(t) = \mathbf{x}(c_{1}(t), \dots, c_{n}(t)) $$

$t_{0}$에서의 탄젠트 벡터를 $V_{0} = \sum_{j} V_{0}^{j} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$라고 하자.

• Part 1. 유일성

  이제 $V(t_{0}) = V_{0}$를 만족하는 $c$를 따라 평행한 벡터필드 $V$가 $\mathbf{x}(U)$에 존재한다고 가정하자. 그러면 평행한 벡터필드의 정의에 의해 다음과 같다.

  $$ \begin{align*} 0 = \dfrac{DV}{dt} =&\ \dfrac{D}{dt} \left( \sum_{j} V_{j} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) = \sum_{j} \dfrac{D}{dt} \left( V_{j} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{j} V_{j} \nabla_{\frac{dc}{dt}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \end{align*} $$

  이때 $\dfrac{dc}{dt} = \sum\limits_{i}\dfrac{d c_{i}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}$이고, $\nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = \sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}$이므로 다음을 얻는다.

  $$ \begin{align*} 0 =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{j}V_{j} \nabla_{\sum_{i}\frac{dc_{i}}{dt}\frac{\partial }{\partial x_{i}}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt}\nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt}\sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ =&\ \sum_{j} \dfrac{d V_{j}}{d t} \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j,k}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*} $$

  $j$는 더미 인덱스이므로 첫항의 인덱스를 $k$로 바꿔주고 정리하면 다음을 얻는다.

  $$ 0 = \sum_{k} \left( \dfrac{d V_{k}}{d t} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k} \right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} $$

  위 벡터가 $0$이기 위해서는, 모든 계수가 $0$이어야 하므로 다음을 얻는다.

  $$ \begin{equation} 0 = \dfrac{d V_{k}}{d t} + \sum_{i,j}V_{j}\frac{dc_{i}}{dt} \Gamma_{ij}^{k}, \quad k=1,\dots,n \end{equation} $$

  이는 ODE 시스템이다. 따라서 초기값 $v_{k}(t_{0}) =V_{0}^{k}$가 주어져있으므로, 피카드 정리에 의해 $V$는 유일함을 알 수 있다.

• Part 2. 존재성

  $(1)$과 같은 ODE 시스템을 생각해보자. 그러면 피카드 정리에 의해, 모든 $t \in I$에 대해서 해가 존재한다. 따라서 우리가 묘사하는 $V$가 존재함을 알 수 있다.

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