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선형변환의 역 📂선형대수

선형변환의 역

정의1

V,WV, W를 벡터공간, T:V→WT : V \to W를 선형변환이라고 하자. 선형변환 U:W→VU : W \to V가 다음을 만족하면, UU를 TT의 역inverse of TT 혹은 역변환이라 한다.

TU=IWandUT=IV TU = I_{W} \quad \text{and} \quad UT = I_{V}

TUTU는 UU와 TT의 합성, IX:X→XI_{X} : X \to X는 항등변환이다. 만약 TT가 역변환을 가지면, TT를 가역invertible변환이라 한다. TT가 가역이면 역변환 UU는 유일하고, T−1=UT^{-1} = U로 표기한다.

설명

정의에 의해 가역변환인 것은 전단사 함수인 것과 같다.

성질

(a) (TU)−1=U−1T−1(TU)^{-1} = U^{-1}T^{-1}

(b) (T−1)−1=T(T^{-1})^{-1} = T

(c) T:V→WT : V \to W가 선형변환이고 V,WV, W가 같은 차원의 유한차원 벡터공간이면,

rank⁡(T)=dim⁡(V) \rank (T) = \dim (V)

rank⁡(T)\rank (T)는 TT의 랭크이다.

(d) 선형변환 T:V→WT : V \to W의 역 T−1:W→VT^{-1} : W \to V도 선형변환이다.

(e) 가역선형변환 T:V→WT : V \to W에 대해서, VV가 유한차원인 것의 필요충분조건은 WW가 유한차원인 것이다. 이 경우 dim⁡(V)=dim⁡(W)\dim(V) = \dim(W)가 성립한다.

(f) TT가 가역인 것은 [T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}가 가역인 것과 동치이다. 더하여 [T−1]βγ=([T]βγ)−1[T^{-1}]_{\beta}^{\gamma} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1}이다. 이때 [T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}는 TT의 행렬표현이다.

증명

(d)

x1,x2∈V\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \in V이고 kk를 임의의 상수라고 하자. 그러면 TT가 선형이므로 다음이 성립한다.

T−1(T(x1)+kT(x2))=T−1(T(x1+kx2))=x1+kx2=T−1(T(x1))+kT−1(T(x2)) \begin{align*} T^{-1} \left( T(\mathbf{x}_{1}) + k T(\mathbf{x}_{2}) \right) &= T^{-1} \left( T(\mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2}) \right) \\ &= \mathbf{x}_{1} + k \mathbf{x}_{2} \\ &= T^{-1}\left( T(\mathbf{x}_{1}) \right) + kT^{-1}\left( T(\mathbf{x}_{2}) \right) \end{align*}

■

(e)2

VV가 유한차원이고 β={v1,…,vn}\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}가 VV의 기저라고 하자. 그러면 T(β)T(\beta)는 치역 R(T)=WR(T)=W를 생성한다.

span⁡(T(β))=R(T)=W \span (T(\beta)) = R(T) = W

따라서 WW는 유한차원이다. 반대도 마찬가지로 성립한다.

이제 V,WV, W가 유한차원이라고 가정하자. TT가 일대일이고 전사이므로,

nullity⁡(T)=0andrank⁡(T)=dim⁡(R(T))=dim⁡(W) \nullity (T) = 0 \quad \text{and} \quad \rank(T) = \dim(R(T)) = \dim(W)

차원정리에 의해,

dim⁡(V)=rank⁡(T)+nullity⁡(T)=dim⁡(W) \dim(V) = \rank(T) + \nullity(T) = \dim(W)

■

(f)2

(⟹)(\Longrightarrow)

T:V→WT : V \to W가 가역이라고 가정하자. 그러면 (e)에 의해 dim⁡(V)=n=dim⁡(W)\dim(V) = n = \dim(W)이다. 그러면 [T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}는 n×nn \times n 행렬이다. TT의 역 T−1T^{-1}에 대해서 T−1T=IV,TT−1=IWT^{-1}T = I_{V}, TT^{-1} = I_{W}이므로,

In=[IV]β=[T−1T]β=[T−1]γβ[T]βγI_{n} = [I_{V}]_{\beta} = \href{../3074}{[T^{-1}T]_{\beta} = {[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}[T]_{\beta}^{\gamma}}}

마찬가지로 In=[IW]β=[TT−1]β=[T]βγ[T−1]γβI_{n} = [I_{W}]_{\beta} = [TT^{-1}]_{\beta} = [T]_{\beta}^{\gamma}[T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}가 성립한다. 따라서 [T]βγ[T]_{\beta}^{\gamma}는 가역행렬이고, 역행렬은 ([T]βγ)−1=[T−1]γβ([T]_{\beta}^{\gamma})^{-1} = [T^{-1}]_{\gamma}^{\beta}이다.

(⟸)(\Longleftarrow)

A=[T]βγA = [T]_{\beta}^{\gamma}가 가역행렬이라 가정하자. 그러면 AB=BA=IAB = BA = I를 만족하는 n×nn \times n 행렬 BB가 존재한다. 그러면 다음과 같이 정의되는 선형변환 U:W→VU : W \to V가 유일하게 존재한다.

U(wj)=∑i=1nBijvi for j=1,…,n U(\mathbf{w}_{j}) = \sum_{i=1}^{n}B_{ij}\mathbf{v}_{i} \quad \text{ for } j = 1,\dots,n

이때 γ={w1,…,wn},β={v1,…,vn}\gamma = \left\{ \mathbf{w}_{1}, \dots, \mathbf{w}_{n} \right\}, \beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}이다. 그러면 UU의 행렬표현은 [U]γβ=B[U]_{\gamma}^{\beta} = B이다. 그러면 다음이 성립한다.

[UT]β=[U]γβ[T]γβ=BA=In=[IV]β [UT]_{\beta} = [U]_{\gamma}^{\beta} [T]_{\gamma}^{\beta} = BA = I_{n} = [I_{V}]_{\beta}

따라서 UT=IVUT = I_{V}이며, 비슷하게 TU=IWTU = I_{W}가 성립한다. 따라서 TT는 가역변환이다.

■

  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p99-100 ↩︎

  2. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p101 ↩︎ ↩︎