📂선형대수

선형 범함수

정의¹

$V$를 벡터공간이라고 하자. 아래와 같은 $V$에서 $\mathbb{C}$(혹은 $\mathbb{R}$)로의 사상 $f$를 범함수^functional라 한다.

$$ f : V \to \mathbb{C} $$

$f$가 선형이면 선형 범함수라 한다.

더 자세한 정의²

$V$를 필드 $F$ 위에서의 벡터공간이라고 하자. 이때 필드 $F$는 그 자체로 $F$ 위에서의 $1$차원 벡터공간이 된다. 선형변환 $f : V \to F$를 선형 범함수^{linear functional}라 한다.

다시말해 선형 범함수는 벡터공간과 그 체 사이의 선형변환이다.

설명

흔히 볼 수 있는 정의는 첫번째 정의이다. 보통은 두번째 정도로 추상적이게 정의하지는 않는다.

functional을 한국어로 순화하면 '범함수'라서 별 느낌이 없지만 영어로 볼땐 functional이 형용사가 아니라 명사라는 것에 주의해야한다. 또한 범함수^汎函數라는 번역은 generalized funcion^{일반화 함수}에서 영향을 받은 것이다.

선형작용소와 구분되는 점은 공역이 $\mathbb{R}$ 혹은 $\mathbb{C}$로 정의된다는 차이 뿐이나, 바로 이 차이점 때문에 쌍대 공간과 같은 공간을 생각할 가치가 있다. 당장 놈 $\| \cdot \| = \| \cdot \|_{V}$ 는 이미 그 스스로 범함수가 되며, 측도론과 연관지어보면 유용할 수밖에 없기 때문이다.

예

대각합

$V = M_{n\times n}(\mathbb{R})$라고 하자. 함수 $f$를 다음과 같이 정의하자.

$$ f : M_{n\times n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \quad \text{ by } \quad f(A) = \tr(A) $$

이때 $\tr$는 행렬의 대각합이다. 그러면 $f$는 선형 범함수이다.

푸리에 계수

$V$를 $f : [0, 2\pi] \to \mathbb{R}$인 연속함수들의 벡터공간이라고 하자. 고정된 $g \in V$에 대해서, $h : V \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의하자.

$$ h(f) = \dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x)g(x)dx $$

그러면 $h$는 선형 범함수이다. $g$가 $\cos nx$ 혹은 $\sin nx$일 때, $h(f)$는 $f$의 푸리에 계수가 된다.

좌표함수

$V$를 유한차원 벡터공간이라고 하자. $\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$을 $V$의 순서기저라고 하자. $\mathbf{x} \in V$의 좌표벡터가 다음과 같다고 하자.

$$ [\mathbf{x}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix} $$

이제 $1 \le i \le n$에 대해서 다음과 같은 함수를 생각하자.

$$ f_{i}(\mathbf{x}) = a_{i} $$

그러면 $f_{i}$는 $V$ 위에서 정의된 선형 범함수이고, 이를 $i$번째 좌표 함수^{$i$th coordinate function with respect to the ordered basis $\beta$}라고 한다. 그러면 $f_{i}(\mathbf{v}_{i}) = \delta_{ij}$가 성립한다. $\delta_{ij}$는 크로네커 델타이다. 좌표함수는 쌍대공간을 얘기하는데에 중요한 역할을 한다.