고유값의 대수적 중복도는 기하적 중복도보다 크거나 같다
정리
행렬 $A \in \mathbb{C}^{ m \times m}$ 의 고유값 $\lambda$ 가 대수적 중복도 $a$ 를 갖고 기하적 중복도 $g$ 를 갖는다고 하면 $a \ge g$ 이다.
설명
고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도는 서로 같다는 보장이 없다. 만약 같았다면 애초에 다르게 정의하지도 않았을 것이다. 다만 한가지 확신할 수 있는 것은 대수적 중복도가 아무리 작아도 기하적 중복도보다는 크거나 같다는 사실이다.
증명
표기: 편의 상 주어진 행렬에 대한 행공간의 기저를 행렬의 기저라고 하자. $m \in \mathbb{N}$ 이라고 할 때, $I_m$ 은 크기가 $m \times m$ 인 항등행렬을 의미한다. 인덱스가 생략되어 있다면 맥락상 함께 연산되고 있는 행렬의 크기에 맞춰서 생각하면 된다.
가정에 따라 다음이 성립한다.
$$ g = \dim \text{sp} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} \right\} = \dim S_{\lambda} = \dim \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{C}^{ m } \ | \ A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \right\} $$
즉 $1 \le i \le g$ 에 대해 $A \mathbf{x}_{i} = \lambda \mathbf{x}_{i}$ 이다. 이제 행렬 $A$ 의 기저를 $$ \text{sp} \left\{ \mathbf{x}_{1} , \mathbf{x}_{2} , \cdots ,\mathbf{x}_{g} , \mathbf{y}_{1} , \mathbf{y}_{2} , \cdots , \mathbf{y}_{m-g} \right\} $$ 라고 하면, $P = \begin{bmatrix}\mathbf{x}_{1} & \mathbf{x}_{2} & \cdots & \mathbf{x}_{g} & \mathbf{y}_{1} & \mathbf{y}_{2} & \cdots & \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix}$ 은 가역행렬이다.
$$ \begin{align*} AP =& A \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} A \mathbf{x}_{1} & A \mathbf{x}_{2} & \cdots & A \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \lambda \mathbf{x}_{1} & \lambda \mathbf{x}_{2} & \cdots & \lambda \mathbf{x}_{g} & A \mathbf{y}_{1} & A \mathbf{y}_{2} & \cdots & A \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} \mathbf{x}_{1} \cdots \mathbf{y}_{m-g} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix} \end{align*} $$
여기서 $B \in \mathbb{C}^{ g \times (m-g) }, C \in \mathbb{C}^{ (m-g) \times (m-g) }$ 이고 $O$ 는 $(m-g) \times g$ 영행렬이다. $D = \begin{bmatrix} \lambda I_{g} & B \\ O & C \end{bmatrix}$ 라고 두면 $AP = PD$ 이고 $P$ 는 가역행렬이므로 $$ A = PDP^{-1} $$ 또한 행렬 $A$ 와 $D$ 가 닮음이므로 $$ \begin{align*} \det (A - \mu I) =& \det (D - \mu I) \\ =& \det \begin{bmatrix} (\lambda - \mu) I_{g} & B \\ O & C - \mu I_{m-g} \end{bmatrix} \\ =& (\lambda - \mu)^{g} \det ( C - \mu I_{m-g} ) \end{align*} $$
특성방정식 $\det (A - \mu I) = 0$ 을 만족시키는 근 중 $\mu = \lambda$ 는 적어도 대수적 중복도 $g$를 갖는다. 따라서 $\lambda$ 의 대수적 중복도 $a$ 는 $g$ 보다 크거나 같다.
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