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순서 기저와 좌표 벡터 📂선형대수

순서 기저와 좌표 벡터

정의1

VV를 유한차원 벡터공간이라고 하자. VV의 기저에 특정한 순서가 부여되면, 이를 순서 기저ordered basis라고 한다.

β={v1,…,vn}\beta = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}를 VV의 순서기저라고 하자. 그러면 기저표현의 유일성에 의해, v∈V\mathbf{v} \in V에 대해서 다음이 성립하는 스칼라 aia_{i}들이 유일하게 존재한다.

v=a1v1+…anvn \mathbf{v} = a_{1}\mathbf{v}_{1} + \dots a_{n}\mathbf{v}_{n}

a1,…,ana_{1},\dots,a_{n}을 기저 β\beta에 대한 v\mathbf{v}의 좌표coordinate of x\mathbf{x} relative of β\beta라 한다. ii번째 좌표를 ii번째 성분으로 갖는 행렬을 기저 β\beta에 대한 v\mathbf{v}의 좌표벡터coordinate vector x\mathbf{x} of relative of β\beta 혹은 좌표행렬이라 하고 [v]β[\mathbf{v}]_{\beta}와 같이 표기한다.

[v]β=[a1a2⋮an] [\mathbf{v}]_{\beta} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{bmatrix}

또한 순서기저 β\beta를 좌표계coordinate system이라 한다.

설명

기저는 집합으로 정의되는데, 집합을 표현함에 있어서 원소가 나열된 순서는 무관하다. 즉 α={e1,e2,e3}={e2,e3,e1}=β\alpha = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} \right\} = \left\{ \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{1} \right\} = \beta이다. 따라서 '좌표'라는 개념을 추상화하기 위해서는 기저의 원소들에 순서를 부여해줄 필요가 있다. 이제 α,β\alpha, \beta를 순서 기저라고 하면,

α={e1,e2,e3}≠{e2,e3,e1}=β \alpha = \left\{ \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3} \right\} \ne \left\{ \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{e}_{1} \right\} = \beta

  • [vi]β=ei[\mathbf{v}_{i}]_{\beta} = \mathbf{e}_{i}가 성립한다. ei\mathbf{e}_{i}는 표준기저이다.

  • 함수 T:v↦[v]βT : \mathbf{v} \mapsto [\mathbf{v}]_{\beta}는 VV에서 Rn\mathbb{R}^{n}으로의 선형변환이 된다.

  • 벡터공간 Rn\mathbb{R}^{n}에 대해서, {e1,…,en}\left\{ \mathbf{e}_{1}, \dots, \mathbf{e}_{n} \right\}을 Rn\mathbb{R}^{n}의 표준 순서 기저standard ordered basis라고 한다.

  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p79-80 ↩︎