📂기하학

리만다양체 위의 등거리사상과 국소 등거리사상

등거리사상¹

$(M, g), (N, h)$를 리만다양체라고 하자. 미분동형사상 $f : M \to N$에 대해서 다음이 성립하면, $f$를 등거리사상^isometry이라고 한다.

$$\begin{equation} g(u, v)_{p} = h\left( df_{p}(u), df_{p}(v) \right)_{f(p)},\quad \forall p\in M,\quad u,v\in T_{p}M \end{equation}$$

혹은

$$\left\langle u, v \right\rangle_{p} = \left\langle df_{p}(u), df_{p}(v) \right\rangle_{f(p)},\quad \forall p\in M,\quad u,v\in T_{p}M$$

이때 $df_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}N$은 $f$의 미분이다.

국소 등거리사상

$(M, g), (N, h)$를 리만다양체라고 하자. 다음의 조건이 만족하면 미분가능한 함수 $f : M \to N$를 $p \in M$에서의 국소 등거리사상^{local isometry}이라고 한다.

$f : U \to f(U)$가 $(1)$을 만족하도록하는 $p$의 근방 $U \subset M$가 존재한다.

또한 모든 점 $p$에 대해서 국소 등거리사상 $f : U \to f(U) \subset N$가 존재하면, 리만다양체 $M$과 $N$이 국소적으로 등거리^{locally isometric}라고 한다.

몰입된 다양체^{immersed manifold}

$f : M^{n} \to N^{n+k}$를 몰입이라고 하자. 다시말해 모든 $p \in M$에 대해서, $f$의 미분 $d_{f}p : T_{p}M \to T_{f(p)}N$이 단사이다. $N$이 리만 메트릭 $h$를 가지면, 다음과 같이 정의되는 $f$로부터 유도되는 $M$ 위의 메트릭 $g$를 생각할 수 있다.

$$g(u, v)_{p} = h\left( df_{p}(u), df_{p}(v) \right)_{f(p)},\quad u,v \in T_{p}M$$

이때 $f$를 등거리 몰입^{isometry immersion}이라 한다.