📂선형대수

유한차원 벡터공간 사이의 선형변환

정리¹

$V, W$를 벡터공간이라고 하자. $\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$, $\left\{ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \dots, \mathbf{w}_{n} \right\}$을 각각 $V, W$의 기저라고 하자. 그러면 $T(\mathbf{v}_{i}) = \mathbf{w}_{i}$를 만족하는 선형변환 $T : V \to W$가 유일하게 존재한다.

따름정리²

$V, W$를 벡터공간이라 하자. $S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$를 $V$의 기저라고 하자. 만약 $U, T : V \to W$가 선형변환이고 $U(\mathbf{v}_{i}) = T(\mathbf{v}_{i})$이면, $U = T$이다.

일반화³

$V, W$를 벡터필드, $\beta$를 $V$의 기저라고 하자. 그러면 어떤 함수 $f : \beta \to W$에 대해서, 다음을 만족하는 선형변환이 유일하게 존재한다.

$$ T : V \to W \quad \text{ by } \quad T(x) = f(x) \quad \forall x \in \beta $$

증명

$\mathbf{x} \in V$라고 하자. 그러면 $\left\{ \mathbf{v}_{i} \right\}$가 기저이므로,

$$ \mathbf{x} = \sum a_{i} \mathbf{v}_{i} $$

를 만족하는 상수 $a_{i}$들이 유일하게 존재한다. 이제 $T$를 다음과 같이 정의하자.

$$ T : V \to W \quad \text{ by } \quad T(\mathbf{x}) = \sum a_{i}\mathbf{w}_{i} $$

그러면 $T(\mathbf{v}_{i}) = \mathbf{w}_{i}$가 성립한다.

• 선형성

$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$라고 하면,

$$ \mathbf{x} = \sum a_{i} \mathbf{v}_{i}, \quad \mathbf{y} = \sum b_{i}\mathbf{v}_{i} $$

$$ c \mathbf{x} + \mathbf{y} = \sum (ca_{i} + b_{i})\mathbf{v}_{i} $$

따라서

$$ T(c \mathbf{x} + \mathbf{y}) = \sum (ca_{i} + b_{i})\mathbf{w}_{i} = c\sum a_{i}\mathbf{w}_{i} + \sum b_{i}\mathbf{w}_{i} = cT(\mathbf{x}) + T(\mathbf{y}) $$

• 유일성

선형변환 $U : V \to W$가 $U(\mathbf{v}_{i}) = \mathbf{w}_{i}$를 만족한다고 하자. 그러면, $\mathbf{x} = \sum a_{i} \mathbf{v}_{i} \in V$에 대해서,

$$ U(\mathbf{x}) = \sum a_{i} U(\mathbf{v}_{i}) = \sum a_{i} \mathbf{w}_{i} = T(\mathbf{x}) $$

■