📂기하학

리만 메트릭과 리만 다양체

정의¹

$n$차원 미분다양체 $M$ 위의 리만 메트릭^{Riemannian metric, 리만 계량} $g$란, 각 점 $p \in M$을 $g_{p}$로 대응시키는 함수이다. $g_{p}$는 $p$위의 탄젠트 공간 $T_{p}M$에서 정의된 내적이다.

$$\begin{align*} g : M &\to \left\{ \text{all inner products on tangent space } T_{p}M \right\} \\ p &\mapsto g_{p}=\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle_{p} \end{align*}$$

$$\begin{align*} g_{p} : T_{p}M \times T_{p}M &\to \mathbb{R} \\ (\mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p}) &\mapsto g_{p}(\mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p})=\left\langle \mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p} \right\rangle_{p} \end{align*}$$

이때 $g_{p}$는 다음의 센스로 미분가능해야한다.

$\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M$를 $p$ 주위에서의 좌표계이고, $\mathbf{x}(x_{1}, \dots, x_{n}) = p$라고 하자. 그러면 다음과 같은 $g_{ij} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$가 미분가능해야한다.

$$g_{ij} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \left\langle \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p}, \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right|_{p}\right\rangle_{p}$$

$g_{ij}$를 리만 메트릭의 국소 표현^{the local representation of the Riemannian metric}이라 한다. 리만 메트릭이 주어진 미분다양체 $(M, g)$를 리만 다양체^{Riemannian manifold}라고 한다.

설명

• 리만다양체 $(M, g)$를 공부하는 것을 리만 기하학^{Riemannian geometry}이라 한다. $g$를 Riemannian structure라고 하기도 한다. $g_{ij}$를 미분기하학에서 제1 기본형식의 계수라고 배운다.

• $\mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p} \in T_{p}M$이라고 하자. 그러면 $T_{p}M$은 기저가 $\left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} \right\}$인 $n$차원 벡터공간이므로,

  $$\mathbf{X}_{p} = X^{i}(p)\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} \text{ and } \mathbf{Y}_{p} = Y^{j}(p)\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right|_{p}$$

  따라서

  $$g_{p}(\mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p}) = \left\langle \mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p} \right\rangle = X^{i}(p)Y^{j}(p) \left\langle \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p}, \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right|_{p} \right\rangle = X^{i}(p)Y^{j}(p)g_{ij}(p)$$

  $p$를 떼서 일반화하면,

  $$g(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = X^{i}Y^{j} \left\langle \dfrac{\partial }{\partial x_{i}}, \dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right\rangle = X^{i}Y^{j}g_{ij}$$

• 미분가능성에 대한 조건의 다른 표현은 다음과 같다.

  다양체 위에서 정의된 함수 $g(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) : M \to \mathbb{R}$가 미분가능하다.

  $$g(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) (p) = g_{p} (\mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p}), \quad \mathbf{X}_{p}, \mathbf{Y}_{p} \in T_{p}M$$

  이때 $g(\mathbf{X}, \mathbf{Y})_{p} = g(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) (p)$와 같이 표기하기도 한다.

• [모든 미분다양체는 리만 메트릭을 갖는다]는 사실이 알려져있다. 따라서 연구의 방향은 '다양체 $M$이 리만 메트릭을 가질 조건'이 아니라 '다양체 $M$에 어떤 좋은 리만 메트릭을 줄 수 있는지'이다.

유도된 메트릭

미분다양체 $M, N$ 사이의 이멀젼 $f : M \to N$이 주어졌다고 하자. $(N, h)$가 리만다양체라고 하자. 다음과 같이 정의되는 $M$ 위의 리만 메트릭 $g$를 $f$로부터 유도된 메트릭^{induced metric on $M$ by $f$}이라고 한다.

$$g_{p}(v, w) := h_{f(p)}(df_{p}(v), df_{p}(w))$$

이때 $df_{p}$는 점 $p$에서 $f$의 미분이다.

유클리드 공간

미분다양체로서의 유클리드 공간 $M = \mathbb{R}^{n}$을 생각해보자. 그러면 $T_{p}\mathbb{R}^{n} \approx \mathbb{R}^{n}$이고, 기저 $\left\{ \dfrac{\partial }{\partial x}_{i} \right\}$는 유클리드 공간의 표준 기저 $\left\{ e_{i} = (0, \dots, 1, \dots, 0) \right\}$와 같다. 그러면 메트릭의 계수는 다음과 같다.

$$g_{ij} = \left\langle e_{i}, e_{j} \right\rangle = \delta_{ij}$$

따라서 유클리드 공간의 리만 메트릭은 유클리드 공간에서 표준으로 정의되는 내적 그 자체이다. $(\mathbb{R}^{n}, g)$를 공부하는 것을 유클리드 기하학^{Euclidean geometry}라고 한다.