📂기하학

벡터필드의 리 브라켓

정의¹

미분다양체 $M$ 위의 두 미분가능한 벡터필드 $X, Y$에 대해서, $[X, Y]$를 다음과 같이 정의하고 (리-)브라켓^{(Lie-)bracket, 리-연산} 혹은 리 대수^Lie-algebra라고 한다.

$$ \begin{equation} [X, Y] := XY - YX \end{equation} $$

설명

벡터필드 $X, Y$는 $\mathcal{D}(M)$위에 작용하는 오퍼레이터로 볼 수 있고, $XY$는 벡터필드가 되지 않지만, $[X, Y] = XY - YX$는 벡터필드가 된다.

$(1)$과 같은 식을 만족하는 $[\cdot, \cdot]$을 일반적으로 교환자^commutator라고 한다.

아래의 정리에서 (a), (b), (c)는 꼭 리-브라켓이 아니라도, 교환자라면 일반적으로 만족하는 성질이다. 특히 (c)를 야코비 항등식^{Jacobi identity}라고 한다.

정리

$X, Y, Z$를 $M$ 위에서 미분가능한 벡터필드라고 하자. $a, b$를 실수, $f, g$를 $M$ 위에서 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

(a) $[X, Y] = -[Y, X]$

(b) $[aX + bY, Z] = a[X, Y] + b[Y, Z]$

(c) $[ [X, Y], Z] + [ [Y, Z], X] + [ [Z, X], Y] = 0$

(d) $[fX, gY] = fg[X, Y] + fX(g)Y - gY(f)X$

증명

(d)

곱의 미분 $X(gY) = X(g)Y + gXY$가 성립하므로,

$$ \begin{align*} [fX, gY] &= fX(gY) - gY(fX) \\ &= \left( fX(g)Y + fgXY \right) - \left( gY(f)X - gfYX \right) \\ &= fgXY - fgYX + fX(g)Y + gY(f)X\\ &= fg(XY - YX) + fX(g)Y + gY(f)X\\ &= fg[X, Y] + fX(g)Y + gY(f)X \end{align*} $$

■