📂기하학

미분다양체 위의 벡터필드

빌드업¹

벡터 필드의 쉬운 정의을 생각해보자. 3차원 공간에서 벡터 필드^{벡터함수, 벡터장}란 3차원 벡터를 3차원 벡터로 매핑하는 함수 $X : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$이다. 이를 다양체로 생각하면, $X$는 미분다양체 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $p$를 $\mathbb{R}^{3}$의 벡터 $\mathbf{v}$로 매핑하는데, 이 벡터 $\mathbf{v}$를 오퍼레이터로 취급하여 방향도함수(=탄젠트 벡터)로 생각할 수 있다. 따라서 벡터필드란, 다양체 $\mathbb{R}^{3}$의 점 $p$를 $p$에서의 탄젠트 벡터 $\mathbf{v}_{p} \in T_{p}\mathbb{R}^{3}$로 매핑하는 함수이다.

그러면 벡터필드의 공역은 모든 점에서의 탄젠트 벡터들의 집합이다. 따라서 벡터 필드 $X$는 다음과 같이 정의되는 함수이다.

$$ X : \mathbb{R}^{3} \to \bigcup \limits_{p\in \mathbb{R}^{3}} T_{p}\mathbb{R}^{3} $$

이러한 개념을 다양체로 일반화하기 위해 미분다양체 $M$의 탄젠트 번들^{tangent bundle} $TM$을 다음과 같이 정의하자.

$$ TM := \bigsqcup \limits_{p\in M} T_{p}M $$

이때 $\bigsqcup$은 분리합집합이다.

정의

미분 다양체 $M$ 위의 벡터 필드^{vector field} $X$란, 각 점 $p \in M$를 $p$에서의 탄젠트 벡터 $X_{p} \in T_{p}M$로 매핑하는 함수이다.

$$ \begin{align*} X : M &\to TM \\ p &\mapsto X_{p} \end{align*} $$

설명

벡터필드의 함숫값

탄젠트 번들의 정의를 생각해보면 $TM$의 원소는 $(p, X_{p})$인데 정의에서 $X_{p}$를 매핑한다고 적혀있어 이에 의문이 들 수 있다.

$$ \begin{equation} TM := \bigsqcup \limits_{p \in M } T_{p}M = \bigcup_{p \in M} \left\{ p \right\} \times T_{p}M = \left\{ (p, X_{p}) : p \in M, X_{p} \in T_{p}M \right\} \end{equation} $$

그러니까 정확하게 말해서 분리합집합의 정의에 따라 $TM$의 원소는 순서쌍 $(p, X_{p})$가 맞지만, 사실상 $X_{p}$와 같은 것으로 취급한다.

탄젠트 번들의 정의를 다시 생각해보자. 탄젠트 번들의 정의에서 정말로 하고 싶은것은 순서쌍 $(p, X_{p})$를 모으는 것이 아니다. 각각의 점 $p$ 위에서의 탄젠트 벡터들을 전부 모으고 싶은 것이다. 그런데 각각의 $T_{p}M$들은 $\mathbb{R}^{n}$과 동형이므로, 합집합을 할 때 애매함이 있을 수 있다.

$$ T_{p}M \approxeq \mathbb{R}^{n} \approxeq T_{q}M $$

예를 들어 $M$이 3차원 다양체라고 하면, $T_{p}M \approxeq \mathbb{R}^{3}$에서 $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\end{bmatrix}^{T}$로 표현되는 벡터 $X_{p}$와 $T_{q}M \approxeq \mathbb{R}^{3}$에서 $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\end{bmatrix}^{T}$로 표현되는 벡터 $X_{q}$를 같은 것으로 취급할 수 있는 애매함이 있다. 따라서 $TM$을 순서쌍들의 집합으로 정의하는 이유는 $X_{p}$와 $X_{q}$는 같은 대상이 아니며, 명확히 다른 것으로 구분하기 위함이다. 여기서 자연스럽게 $\iota_{p} : (p, X_{p}) \mapsto X_{p}$와 같은 전단사 함수를 생각해서, $(p, X_{p}) \approx X_{p}$라고 취급할 수 있다.

어떤 교재에서는 굳이 이러한 설명을 하고 싶지 않은 경우, 혹은 독자들이 충분히 이해하고 있다고 가정하는 경우에, 탄젠트 번들 $TM$을 다음과 같이 정의하기도 한다.

$$ TM := \bigcup\limits_{p\in M} T_{p}M = \left\{ X_{p} \in T_{p}M : \forall p \in M \right\} $$

물론 다시 말하지만 위의 정의나 $(1)$이나 본질적으로 같다. 또한 위의 정의에 따라 $X$의 함숫값은 함수 $X_{p}$라는 것에 유의하자.

$$ X_{p} : \mathcal{D} \to \mathbb{R} $$

오퍼레이터로서의 벡터필드

$M$을 $n$차원 미분다양체라고 하자. $M$에서 미분 가능한 함수들의 집합을 $\mathcal{D} = \mathcal{D}(M)$라고 하자.

$$ \mathcal{D} = \mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\} $$

탄젠트 벡터 $X_{p}$는 탄젠트 공간의 원소이며, 탄젠트 공간은 기저가 $\mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x}_{i} \right|_{p} \right\}$인 $n$차원 벡터공간이다. 따라서 $X_{p}$는 $\mathcal{B}$의 선형결합으로 나타난다.

$$ X(p) = X_{p} = a_{i}(p) \left. \dfrac{\partial }{\partial x}_{i} \right|_{p} $$

이때 $a_{i} : U \to \mathbb{R}$이고, 각각의 $a_{i}$들이 미분가능하면 벡터필드 $X$가 미분가능하다고 한다. 탄젠트 벡터 $X_{p}$는 $M$ 위에서 미분가능한 함수 $f \in \mathcal{D}$를 다음과 같이 매핑한다.

$$ X_{p}(f) = X_{p}f = a_{i}(p) \left.\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|_{p} $$

그런데 잘 보면 위의 값은 미분가능한 함수 $f$가 고정되어있을 때, 점 $p$에 따라 바뀌는 것을 알 수 있다. 그러면 다음과 같이 정의되는 함수 $Xf : M \to \mathbb{R}$를 생각해줄 수 있다.

$$ Xf(p) = a_{i}(p) \left.\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|_{p} $$

위와 같이 생각하면, 벡터필드 $X$를 미분가능한 함수 $f$에 작용하는 오퍼레이터로서 생각해줄 수 있다.

$$ \begin{align*} X : \mathcal{D} &\to \mathcal{F} \\ f &\mapsto Xf \end{align*} \quad \text{where } \mathcal{F} \text{ is set of functions on } M $$

이제 $X$를 다음과 같은 두가지 관점에서 바라볼 수 있다.

$$ X_{p}f = a_{i}(p) \left.\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|_{p} = Xf(p) $$

즉 벡터필드 $X : M \to TM$이 있으면 위의 논의에 따라 오퍼레이터 $X : \mathcal{D} \to \mathcal{F}$를 생각해줄 수 있고, 반대도 마찬가지이다. 따라서 벡터필드로서의 $X$와 오퍼레이터로서의 $X$를 같은 것이라고 생각하고 다룬다.

$X$가 미분가능한 벡터필드인 것과 오퍼레이터 $X$가 $X : \mathcal{D} \to \mathcal{D}$가 되는 것이 동치라는 것을 사실로써 알아두자. 다시말해 미분가능한 벡터필드는 (오퍼레이터로서) $M$ 위에서 미분가능한 함수를 $M$ 위에서 미분가능한 함수로 매핑한다. 그러면 자연스럽게 생길 수 있는 질문은 "두 미분가능한 벡터필드 $X, Y$에 대해서 오퍼레이터 $XY$ (혹은 $YX$)도 벡터필드가 될 것인가?"이다. 다시말해 $XY$도 $T_{p}M$의 원소인가?, $YX(f)$도 미분가능한 함수인가?($=\mathcal{D}$의 원소인가?)가 궁금하다는 것이다. 결론부터 말하자면 아니다. 이는 간단히 확인할 수 있다. 두 벡터필드 $X = a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}$, $Y = b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}$가 있다고 하자. $XYf$를 계산하면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} XYf = XY(f) = X(Y(f)) &= X\left( b_{j}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} \right) = a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\left( b_{j}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} \right) \\ &= a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} + a_{i}b_{j}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \\ &= \left( a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + a_{i}b_{j}\dfrac{\partial^{2} }{\partial x_{i} \partial x_{j}} \right) f \end{align*} $$

따라서 $XY$는 $\left. \dfrac{\partial }{\partial x}_{i} \right|_{p}$들의 선형결합으로 나타나지 않으므로, 벡터필드가 아니다. $YX$도 같은 이유로 벡터필드가 아니다. 다만 다음의 정리로 이들의 차는 벡터필드가 됨을 알 수 있다.

정리

미분다양체 $M$위의 두 미분가능한 벡터필드 $X, Y$에 대해서, 다음과 같은 벡터필드 $Z$가 유일하게 존재한다.

$$ Zf = [X, Y]f = (XY- YX)f, \quad \forall f \in \mathcal{D} $$

이때 $[X, Y] := XY- YX$를 (리-)브라켓^{(Lie-)bracket, 리-연산} 혹은 리 대수^Lie-algebra라고 한다.

증명

• 유일성

우선 만약 이러한 $Z$가 존재한다면, 유일하다는 것을 증명하자. 이러한 $Z$가 존재한다고 가정하자. 그리고 $p$를 $M$ 위의 점, $\mathbf{x} : U \to M$을 $p$에서의 좌표계라고 하자. 그리고 $X, Y$를 벡터필드 라고하자.

$$ X = a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}, Y = b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} $$

그러면 모든 $f \in \mathcal{D}$에 대해서,

$$ \begin{align*} XYf &= X(Y(f)) = a_{i}\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\left( b_{j}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} \right) = a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} + a_{i}b_{j}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \\ YXf &= Y(X(f)) = b_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}\left( a_{i}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \right) = b_{j}\dfrac{\partial a_{i}}{\partial x_{j}}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} + b_{j}a_{i}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} \end{align*} $$

따라서

$$ \begin{align*} Zf = (XY - YX)f &= XYf - YXf \\ &= a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} - b_{j}\dfrac{\partial a_{i}}{\partial x_{j}}\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} \\ &= a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} - b_{i}\dfrac{\partial a_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} \\ &= \left( a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}} - b_{i}\dfrac{\partial a_{j}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} \\ \end{align*} $$

이때 위 식의 $a_{i}, b_{i}, \dfrac{\partial a_{j}}{\partial x_{i}}, \dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}}, \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$들은 모두 $p$에 따라 값이 유일하게 결정되므로, 이러한 $Z$가 존재한다면 유일하다는 것을 알 수 있다.

• 존재성

이제 $Z_{\alpha}$를 좌표 근방 $\mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha})$에서 위의 표현과 같이 정의되는 벡터필드라고 하자.

$$ Z_{\alpha}f = \left( a_{i}\dfrac{\partial b_{j}}{\partial x_{i}} - b_{i}\dfrac{\partial a_{j}}{\partial x_{i}} \right) \dfrac{\partial f}{\partial x_{j}} $$

그리고 $W = \mathbf{x}_{\alpha}(U_{\alpha}) \cap \mathbf{x}_{\beta}(U_{\beta}) \ne \varnothing$를 만족하는 좌표근방 $\mathbf{x}_{\beta}(U_{\beta})$에서 정의되는 $Z_{\beta}$를 생각해보자. 그러면 유일성에 의해 $W$위에서 $Z_{\alpha} = Z_{\beta}$여야한다. 따라서 $Z$가 $M$의 전체에서 잘 정의됨을 알 수 있다.

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같이보기

• 미분다양체 위에서 미분가능한 함수들의 집합 $\mathcal{D}(M)$
• 미분다양체 위의 미분가능한 벡터필드들의 집합 $\frak{X}(M)$