k-형식의 외미분
📂기하학k-형식의 외미분
정의
ω=I∑aIdxI를 n차원 미분다양체 M 위의 k-형식이라고 하자. ω의 외미분exterior differential dω를 다음과 같이 정의한다.
dω:=I∑daI∧dxI
이때 ∧는 쐐기곱이다.
설명
daI는 1-형식이고 dxI는 k-형식이므로, dω는 (k+1)-형식이다.
예제
ω를 다음과 같이 주어진 R3에서의 1-형식이라고 하자.
ω=xyzdx+yzdy+(x+z)dz
그러면 dω는 다음과 같다.
dω=d(xyz)∧dx+d(yz)∧dy+d(x+z)∧dz=(yzdx+xzdy+xydz)∧dx+(zdy+ydz)∧dy+(dx+dz)∧dz=xzdy∧dx+xydz∧dx+ydz∧dy+dx∧dz=−xzdx∧dy−xydx∧dz−ydy∧dz+dx∧dz=−xzdx∧dy+(1−xy)dx∧dz−ydy∧dz
성질
(a) ω1,ω2가 k-형식일 때,
d(ω1+ω2)=dω1+dω2
(b) ω가 k-형식, φ가 s-형식일 때,
d(ω∧φ)=dω∧φ+(−1)kω∧dφ
(c) d(dω)=d2ω=0
(d) N,M이 각각 n,m차원 미분다양체, ω가 M 위의 k-형식, f:N→M가 미분가능한 함수일 때,
d(f∗ω)=f∗(dω)
이때 f∗ω는 ω의 풀백이다.
증명
(a)
ω1=I∑aIdxI, ω2=I∑bIdxI라고 하자. 그러면 미분형식의 합과 쐐기곱의 성질에 의해,
d(ω1+ω2)=d(I∑(aI+bI)dxI)=I∑d(aI+bI)∧dxI=I∑(daI+dbI)∧dxI=I∑(daI∧dxI+dbI∧dxI)=I∑daI∧dxI+I∑dbI∧dxI=dω1+dω2
■
(b)
ω=I∑aIdxI, φ=J∑bJdxJ라고 하자. 그러면
d(ω∧φ)=d(I∑aIdxI∧J∑bJdxJ)=dI,J∑aIbJdxI∧dxJ=I,J∑d(aIbJ)∧dxI∧dxJ=I,J∑(bJdaI+aIdbJ)∧dxI∧dxJ=I,J∑bJdaI∧dxI∧dxJ+I,J∑aIdbJ∧dxI∧dxJ=(I∑daI∧dxI)∧J∑bJdxJ+(−1)kI,J∑aIdxI∧dbJ∧dxJ=dω∧φ+(−1)k(I∑aIdxI)∧(J∑dbJ∧dxJ)=dω∧φ+(−1)kω∧dφ
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(c)
ω가 0-형식이라고 하자.
ω=f:M→R
그러면
d(dω)=d(df)=d(i=1∑n∂xi∂fdxi)=i∑d(∂xi∂f)∧dxi=i∑(j∑∂xj∂∂xi∂fdxj)∧dxi=i,j∑(∂xj∂xi∂2fdxj)∧dxi={00i=ji=j=0
이때 i=j인 경우 dxi∧dxi=0이므로 0이다. i=j인 경우에는
(∂xj∂xi∂2fdxj)∧dxi+(∂xi∂xj∂2fdxi)∧dxj