📂푸리에해석

컨볼루션의 서포트

정리

두 실수 집합 $A, B$에 대해, $A + B$를 다음과 같이 정의하자.

$$A + B := \left\{ a + b : \forall a \in A, \forall b \in \supp B \right\}$$

두 함수 $f, g$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\supp f \ast g \subset \supp f + \supp g$$

이때 $\supp$는 함수의 서포트, $\ast$는 컨볼루션이다.

증명¹

$x \notin \supp f + \supp g$라고 가정하자. 그러면 어떤 $y$를 선택해도 $f(y)g(x-y)=0$이 된다.

• Case 1 $y \in \supp f$

  이 경우에 $x - y \notin \supp g$이다. 만약 $x - y \in \supp g$라고 가정하면,

  $$\supp f + \supp g \ni (x - y) + y = x \notin \supp f + \supp g$$

  이므로 모순이다. 따라서 $x - y \notin \supp g$이고, $g(x-y) = 0$이다.

• Case 2 $y \notin \supp f$

  이 경우에 $f(y) = 0$이다.

따라서 $x \notin \supp f + \supp g$이면, $\displaystyle \int f(y)g(x - y) dy = f \ast g(x) = 0$이므로 $x \notin \supp f \ast g$이다. 그러므로

$$\supp f \ast g \subset \supp f + \supp g$$

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