제곱근
정의
수 $x$에 대하여, $r^{2} = x$를 만족하는 수 $r$을 $x$의 제곱근square root of $x$이라 한다.
$$ \text{$r$ is a square root of $x$} \iff r^{2} = x $$
설명
양수인 $x \gt 0$에 대해서, $x$의 제곱근으로는 절댓값이 같고 부호가 서로 다른 두 수 $r \gt 0$과 $-r$이 존재한다. 이때 양수인 $r$을 $x$의 양의 제곱근이라 하며, 다음과 같이 표기한다.
$$ r = \sqrt{x} $$
$-r = -\sqrt{x}$를 $x$의 음의 제곱근이라 한다.
기호 $\sqrt{\ }$ 자체는 근호radical symbol라 하고, $\sqrt{x}$는 [제곱근 엑스]라 읽는다. 제곱근을 처음 배울 때 가장 어려운 점은 아무래도 「$x$의 제곱근」과 「제곱근 $x$」를 구별하는 것이다. $x$의 제곱근은 위의 정의에 따라 제곱하여 $x$가 되는 모든 수를 지칭한다. 즉 $r^{2} = x$를 만족하는 모든 수를 말한다. 반면에 제곱근 $x$는 $\sqrt{x}$를 읽은 것이므로 $x$의 양의 제곱근을 의미한다. 따라서 $x \gt 0$에 대해서 제곱근 $x$($=\sqrt{x}$)는 항상 양수이다.
$$ \text{$x$의 제곱근} = \left\{ r : r^{2} = x \right\} = \left\{ \sqrt{x}, -\sqrt{x} \right\} $$
$$ \text{제곱근 $x$} = \sqrt{x} ( \gt 0 ) $$
성질
$a, b \gt 0$에 대해서 다음의 성질이 성립한다.
(a) $\sqrt{a \pm b} \ne \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ $(a \gt b)$
(b) $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$
(b') $p\sqrt{a} \times q\sqrt{b} = pq \sqrt{a b}$
(c) $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$
증명
(b)
$\sqrt{a} \sqrt{b}$를 제곱하면,
$$ ( \sqrt{a} \sqrt{b} )^{2} = ( \sqrt{a} )^{2} ( \sqrt{b} )^{2} = a b $$
이는 $\sqrt{a}\sqrt{b}$가 $ab$의 양의 제곱근임을 의미한다. 따라서 $\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}$이다.
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$0$과 음수의 제곱근
$\sqrt{0}$은 $0$이라 정의한다.
두 번 곱해서 음수가 되는 수는 실수에서 존재하지 않는다. 음수의 제곱근을 말하려면 수 체계를 복소수까지 확장해야 한다. 제곱근 $-1$, 즉 $\sqrt{-1}$를 복소수 $i$라 정의한다.
$$ \sqrt{-1} := i $$
상술한 주의점에 따라, 「$-1$의 제곱근」은 $\left\{ i, -i \right\}$으로 두 개가 있지만, 「제곱근 $-1$」 $(=\sqrt{-1})$는 오직 $i$를 의미한다. 양수 $x \gt 0$에 대해서, $-x$의 제곱근을 아래와 같이 정의한다.
$$ \sqrt{-x} := i \sqrt{x} $$
음수에 대한 제곱근에 대해서도 위의 성질이 성립함을 어렵지 않게 확인할 수 있다.