📂단층촬영

단층촬영에서 팬텀이란?

정의

단층촬영의 수치적 시뮬레이션에 사용되는 가상의 그림을 팬텀^phantom이라 한다.

설명

단층촬영에서 다루는 문제는 어떤 함수 $f$와 어떤 오퍼레이터 $A$에 대해서, $Af$가 주어져있을 때 $f$를 찾는 것이다.

예를 들어 CT 촬영의 경우 $Af$는 라돈 변환 $\mathcal{R}f$이고 CT 스캐너가 방사선을 우리 몸을 투과시키고 얻은 데이터를 의미하며, 구체적으로 뇌 CT 데이터는 다음의 사진과 같다.

만약 우리가 어떤 역변환 공식을 유도하거나 알고리즘을 개발하여 위 데이터에 적용했고, 다음과 같은 결과를 얻었다고 하자.

그런데 우리는 역변환 공식, 알고리즘이 잘 작동한 것인지 알 수가 없다. 왜냐하면 정답이 우리 손에 없기 때문이다. 보이지 않는 신체 내부를 알고 싶어서 만든 공식인데, 이것이 실제로 잘 계산되는지를 확인하려면 신체 내부를 봐야하는 것이다.

따라서 수치적 시뮬레이션을 위한 데이터 $\mathcal{R}f$를 만들 때, 이미 우리가 정확하게 알고 있는(우리가 인위적으로 만든) $f$로부터 만들어야한다. 그래야 $\mathcal{R}^{-1}\mathcal{R}f$와 $f$가 얼마나 비슷한지를 확인할 수 있기 때문이다. 이때 이러한 $f$를 팬텀이라고 한다. 많이 쓰이는 팬텀은 Shepp과 Logan이 제안한 Shepp-Logan 팬텀¹이며, 이는 뇌의 단면에서 나타나는 특징을 묘사한 그림으로 다음과 같다.

이를 $f$라 두고 $\mathcal{R}f$와 $\mathcal{R}^{-1} \mathcal{R} f$를 계산해보면 각각 다음과 같다.