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n차원 라돈 변환

정의¹

$s \in \mathbb{R}^{1}$, $\boldsymbol{\theta} \in S^{n-1}$에 대해서, 라돈변환 $\mathcal{R} : L^{2}(\mathbb{R}^{n}) \to L^{2}(Z_{n})$를 다음과 같이 정의한다.

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s} f(\mathbf{x}) d \mathbf{x}$$

여기서 $Z_{n} := \mathbb{R}^{1} \times S^{n-1}$은 $n+1$차원의 유닛 실린더이다.

설명

$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta})$의 기하적인 의미는, $f$를 원점에서 $s$만큼 떨어져고, $\boldsymbol{\theta}$와 수직인 모든 점에서 적분하는 것이다.

$$\mathbf{x} \cdot (-\boldsymbol{\theta}) = -s \iff \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} = s\quad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$$

위 식이 성립하므로, 라돈 변환은 우함수이다.

$$\mathcal{R}f(-s, -\boldsymbol{\theta}) = \mathcal{R}f(s, \boldsymbol{\theta})$$

다른 표현

고정된 $\boldsymbol{\theta}$에 대해서,

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f (s)$$

$\boldsymbol{\theta} ^{\perp} := \left\{ \mathbf{u} : \mathbf{u} \cdot \boldsymbol{\theta} = 0 \right\}$이라고 하자. 그러면,

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\boldsymbol{\theta}^{\perp}} f( s \boldsymbol{\theta} + \mathbf{u}) d \mathbf{u}$$

디랙 델타 함수 $\delta$에 대해서,

$$\mathcal{R} f (s, \boldsymbol{\theta}) = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}} f( \mathbf{x} ) \delta ( \mathbf{x} \cdot \boldsymbol{\theta} - s) d \mathbf{x}$$

정리

$f \in L^{1}(\mathbb{R})$라고 하자. 그러면 $\mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s) \in L^{1}(\mathbb{R})$이고, 다음이 성립한다.

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s) ds = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}}f(\mathbf{x})d \mathbf{x}$$

증명

$\mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s)$는 원점에서 $t$만큼 떨어져있고, $\boldsymbol{\theta}$와 수직인 평면에서 $f$를 적분한 것이다. 이를 모든 $s \in \mathbb{R}$에 대해서 적분하면, $f$를 $\mathbb{R}^{n}$의 모든 점에서 적분한 것과 같다. 따라서,

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mathcal{R}_{\boldsymbol{\theta}}f(s) ds = \int\limits_{\mathbb{R}^{n}}f(\mathbf{x})d \mathbf{x} \lt \infty$$

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