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n차원 극좌표 📂다변수벡터해석

n차원 극좌표

정의1

점 x∈Rnx \in \mathbb{R}^{n}의 데카르트 좌표를 x1,…,xnx_{1}, \dots, x_{n}이라고 하자. 그러면 이 점의 극좌표polar coordinates r,φ1,…,φn−1r, \varphi_{1}, \dots, \varphi_{n-1}와의 관계는 다음과 같다.

xn=rcos⁡φ1xn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2xn−2=rsin⁡φ1cos⁡φ2⋮x4=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−3sin⁡φn−2x3=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−3cos⁡φn−2x2=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−2sin⁡φn−1x1=rsin⁡φ1sin⁡φ2⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1 \begin{align*} x_{n} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{n-1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \\ x_{n-2} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ \vdots& \\ x_{4} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \sin \varphi_{n-2} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} \\ \end{align*}

여기서

0≤φi≤π (1≤i≤n−2),0≤φn−1≤2π 0 \le \varphi_{i} \le \pi \ (1 \le i \le n-2), \quad 0 \le \varphi_{n-1} \le 2\pi

설명

위의 공식이 헷갈릴 수 있는데, 먼저 xnx_{n}을 rcos⁡φ1r\cos\varphi_{1}로 두고 나머지는 아래에서부터 x1,x2,…x_{1}, x_{2}, \dots의 공식을 참고해서 값을 두면된다. 자세한 내용은 아래의 예시를 참고하자. 예시에서 2차원일 때는 극좌표, 3차원일 때는 구면좌표라고 설명했지만 반드시 그렇게 불러야하는 것은 아니다. 물리학에서는 일반적인 nn차원에 대해서 다룰 일이 없으므로 이러한 구분이 중요하고 실제로 각 명칭이 2차원, 3차원임을 의미한다. 하지만 수학에서는 극좌표나 구면좌표라는 명칭에서 차원을 제한하는 느낌이 훨씬 덜하다. 어떻게 쓰느냐는 취향차이인 것 같다.

n=2n=2

이 경우를 특히 극좌표polar coordanates라고 하며, 흔히 θ=φ1\theta = \varphi_{1}로 표기한다. 그러면 x2x_{2}는

x2=xn=rcos⁡φ1=rcos⁡θ x_{2} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta

x1x_{1}은, n=2n=2를 대입하면,

x1=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1=rsin⁡φ1=rsin⁡θ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} = r \sin \theta

따라서

x2=y=rcos⁡θx1=x=rsin⁡θ \begin{align*} x_{2} &= y = r \cos \theta \\ x_{1} &= x = r \sin \theta \\ \end{align*}

∣x∣=r2cos⁡2θ+r2sin⁡2θ=r2=∣r∣ \left| \mathbf{x} \right| = r^{2} \cos^{2}\theta + r^{2} \sin^{2}\theta = r^{2} = \left| \mathbf{r} \right|

n=3n=3

이 경우를 특히 구좌표spherical coordinates라 부르며 흔히 θ=φ1\theta = \varphi_{1}, ϕ=φ2\phi = \varphi_{2}로 표기한다. x3x_{3}은

x3=xn=rcos⁡φ1=rcos⁡θ x_{3} = x_{n} = r \cos \varphi_{1} = r \cos \theta

x2x_{2}는, n=3n=3을 대입하면,

x2=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2sin⁡φn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2=rsin⁡θsin⁡φ x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} = r \sin \theta \sin \varphi

x1x_{1}은, n=3n=3을 대입하면,

x1=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1=rsin⁡φ1cos⁡φ2=rsin⁡θcos⁡φ x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} = r \sin \theta \cos \varphi

5EF2C2833.png

따라서

x3=z=rcos⁡θx2=y=rsin⁡θsin⁡φx1=x=rsin⁡θcos⁡φ \begin{align*} x_{3} &= z= r \cos \theta \\ x_{2} &= y= r \sin \theta \sin \varphi \\ x_{1} &= x= r \sin \theta \cos \varphi \end{align*}

∣x∣=x12+x22+x32=r2sin⁡2θcos⁡2φ+r2sin⁡2θsin⁡2φ+r2cos⁡2θ=r2sin⁡2θ+r2cos⁡2θ=r2=∣r∣ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} &= r^{2}\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + r^{2}\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2}\sin^{2}\theta + r^{2}\cos^{2}\theta \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*}

n=4n=4

n=4n=4까지만 해보자. x4x_{4}는,

x4=xn=rcos⁡φ1 x_{4} = x_{n} = r \cos \varphi_{1}

x3x_{3}는, n=4n=4를 대입하면,

x3=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−3cos⁡φn−2=rsin⁡φ1cos⁡φ2 x_{3} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-3} \cos \varphi_{n-2} = r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}

x2x_{2}는, n=4n=4를 대입하면,

x2=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2sin⁡φn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2sin⁡φ3 x_{2} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3}

x1x_{1}은, n=4n=4를 대입하면,

x1=rsin⁡φ1⋯sin⁡φn−2cos⁡φn−1=rsin⁡φ1sin⁡φ2cos⁡φ3 x_{1} = r \sin \varphi_{1} \cdots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1} = r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}

따라서

x4=rcos⁡φ1x3=rsin⁡φ1cos⁡φ2x2=rsin⁡φ1sin⁡φ2sin⁡φ3x1=rsin⁡φ1sin⁡φ2cos⁡φ3 \begin{align*} x_{4} &= r \cos \varphi_{1} \\ x_{3} &= r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2} \\ x_{2} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \\ x_{1} &= r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3} \end{align*}

∣x∣=x12+x22+x32+x42=(rsin⁡φ1sin⁡φ2cos⁡φ3)+rsin⁡φ1sin⁡φ2sin⁡φ3=(r2sin⁡2φ1sin⁡2φ2cos⁡2φ3)+(r2sin⁡2φ1sin⁡2φ2sin⁡2φ3)+(r2sin⁡2φ1cos⁡2φ2)+(r2cos⁡2φ1)=(r2sin⁡2φ1sin⁡2φ2)+(r2sin⁡2φ1cos⁡2φ2)+(r2cos⁡2φ1)=(r2sin⁡2φ1)+(r2cos⁡2φ1)=r2=∣r∣ \begin{align*} \left| \mathbf{x} \right| &= x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} \\ &= (r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}) + r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3}\\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \cos^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2} \sin^{2} \varphi_{3}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \sin^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1} \cos^{2} \varphi_{2}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= (r^{2} \sin^{2} \varphi_{1}) + (r^{2} \cos^{2} \varphi_{1}) \\ &= r^{2} \\ &= \left| \mathbf{r} \right| \end{align*}

x≠0x \ne 0에 대해서 다음을 얻는다.

θ=x∣x∣∈Sn−1,x=rθ,r=∣x∣>0 \boldsymbol{\theta} = \dfrac{x}{\left| x \right|} \in S^{n-1}, \quad x = r\boldsymbol{\theta},\quad r = \left| x \right| > 0

이 표현에서 θ\boldsymbol{\theta}는 각도가 아님에 주의하자. 데카르트 좌표 θ1,…,θn\theta_{1}, \dots, \theta_{n}은 다음의 식으로 표현된다.

cos⁡φk−1=θkrk,sin⁡φk−1=rk−1rk−2,rk=(θ12,…,θk2)1/2 \cos \varphi_{k-1} = \dfrac{\theta_{k}}{r_{k}}, \quad \sin \varphi_{k-1} = \frac{r_{k-1}}{r_{k-2}},\quad r_{k} = \left( \theta_{1}^{2}, \dots, \theta_{k}^{2} \right)^{1/2}

또한 Rn∖{0}\mathbb{R}^{n} \setminus \left\{ 0 \right\}에서 R+×Sn−1\mathbb{R}_{+} \times S^{n-1}로의 사상 x↦(r,θ)x \mapsto (r, \boldsymbol{\theta})는 연속이며, 전단사이다.

성질

다음의 적분이 성립한다. f∈L1(Rn)f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})에 대해서,

∫Rxf(x)dx=∫Sn−1∫0∞f(rθ)rn−1drdθ \int_{\mathbb{R}^{x}} f(x) dx = \int\limits_{S^{n-1}} \int\limits_{0}^{\infty} f(r \boldsymbol{\theta}) r ^{n-1}dr d\boldsymbol{\theta}

  1. Boris Rubin, Introduction to Radon Transforms With Elements of Fractional Calculus and Harmonic Analysis (2015), p26-27 ↩︎