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가향곡면 📂기하학

가향곡면

정의1

곡면 MM의 점 pppp에서의 노멀벡터로 매핑하는 함수

ν:MS2 with ν(p) normal to M at p \nu : M \to S^{2} \text{ with } \nu (p) \text{ normal to } M \text{ at } p

가 모든 점에서 연속이면, MM가향곡면orientable surface이라한다.

설명

ν\nu가우스 맵이라 한다.

예시

S2S^{2}

ν(p)\nu (p)pp에서의 외향법선벡터outward normal vector라고 하면, ν(p)=p\nu (p) = p이므로 연속이다. 따라서 구 S2S^{2}는 가향곡면이다.

토러스 T2T^{2}

가향곡면이다.

뫼비우스 띠

뫼비우스 띠는 가향곡면이 아니다.

정리

R3\mathbb{R}^{3}의 모든 컴팩트 곡면은 가향곡면이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p180 ↩︎