유리수
정의1
정수 집합 $\mathbb{Z}$가 주어졌다고 하자. 아래와 같은 데카르트 곱을 생각하자.
$$ \begin{align*} S &= \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}\setminus \left\{ 0 \right\}) \\ &= \left\{ (a, b) : a \in \mathbb{Z} \text{ and } b \in \mathbb{Z} \setminus \left\{ 0 \right\} \right\} \end{align*} $$
그리고 동치관계 $\sim$을 아래와 같이 정의하자.
$$ (a, b) \sim (c, d) \iff ad = bc $$
$\sim$에 의한 $S$의 몫집합을 유리수 집합the rationals, set of all rational numbers이라 정의하고 다음과 같이 표기한다.
$$ \mathbb{Q} := S/\sim $$
$\mathbb{Q}$의 원소를 유리수rational number라고 한다.
설명
정의에 의해 유리수란, 두 정수 $a$와 $b \ne 0$의 순서쌍 $(a, b)$의 동치류 $(a, b)/\sim$이다. 이를 간단히 순서쌍 $(a, b)$로 나타낼 수도 있고, 더 흔히 쓰는 표현은 슬래시(/)나 대시(-)를 사용하는 것이고 아래와 같은 표현을 분수fraction라 한다.
$$ \frac{a}{b} = a/b = (a, b)/\sim $$
정수와의 관계
각각의 정수 $n \in \mathbb{N}$은 유리수 $n/1$으로 표현할 수 있다. 즉 $\mathbb{Z} = \left\{ n/1 : n \in \mathbb{Z} \right\}$으로 볼 수 있고, 정수집합은 유리수집합의 부분집합이다.
$$ \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} $$