📂기하학

미분기하에서 컴팩트 곡면

정의¹

• $\overline{B}_{r} = \left\{ p \in \mathbb{R}^{3} : \left| p \right| \le r \right\}$라고 하자. 곡면 $M \subset \mathbb{R}^{3}$에 대해서 다음을 만족하는 $r$이 존재하면, $M$을 유계^bounded라고 한다. $$M \subset \overline{B}_{r}$$

• 모든 $M$ 위의 점의 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$이 다음의 식을 만족하면, 다시말해 $M$ 위의 점 $p$로 수렴수렴하면 $M$을 닫혀있다^closed고 한다.

$$\exist \lim\limits_{n \to \infty}p_{n} = p,\quad p \in M$$

• 곡면 $M$이 유계이고, 닫혀있으면 컴팩트^compact라고 한다.

설명

위의 정의들은 $\mathbb{R}$에서 정의한 유계, 닫혀있음, 컴팩트를 곡면 위에서 다시 정의한 것에 지나지 않는다.

보조정리

$M$을 컴팩트 곡면, $r = \min \left\{r | M \subset \overline{B_{r}}\right\}$라고 하자. 그러면 $\left| p \right| = r$인 $p \in M$가 존재한다. 다시말해,

$$\exists p \in M \text{ such that } \left| p \right| = r \quad \text{and} \quad M\cap S_{r} \ne \varnothing$$

이때 $S_{r}$은 반지름이 $r$인 구이다.

증명

$n \gt 0$에 대해서 $r_{n} = r - \dfrac{1}{n}$라고 하자. 그러면

$$M - \overline{B_{r_{n}}} \ne \varnothing$$

이제 $p_{j} \in M - \overline{B_{r_{j}}}$라고 하자. 그러면 $M$이 유계이고, $p_{j} \in M$이므로 어느 점 $p \in \mathbb{R}^{3}$로 수렴하는 부분수열이 존재한다.

$$\exists \text{subsequnce } \left\{ p_{n_{j}} \right\} \text{ such that } \lim\limits_{j\to \infty} p_{n_{j}} = p \in \mathbb{R}^{3}$$

$M$이 닫혀있으므로,

$$p \in M,\quad \left| p \right| = r$$

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정리

$M$을 컴팩트 곡면이라고 하자. 그러면 가우스 곡률이 양수인 점 $p$가 존재한다.

$$\exists p \in M \text{ such that } K(p) \gt 0$$

증명

보조정리에 의해,

$$r = \min\left\{ r : M \subset \overline{B_{r}}\right\} \implies S_{r} \cap M \ne \varnothing$$

Claim: $K(p) \gt 0$ for any $p \in S_{r}\cap M$

$p \in S_{r}\cap M$라고 하자. 그러면 $S_{r}$과 $M$은 $p$에서 같은 단위노멀벡터를 갖는다. 따라서 점 $p$에서의 접평면이 같다.

$$T_{p}S_{r} = T_{p}M$$

이제 $\mathbf{X} \in T_{p}S_{r} \cap T_{p}M$라고 하자. 그리고 $\Pi$를 $\left\{\mathbf{n}, X\right\}$로 생성되는 평면이라고 하자. 그러면 $\mathbf{X}$ 방향으로의 $M$의 법곡률 $\kappa_{n}$은 $\Pi \cap M$인 곡선의 곡률과 같다. 그런데 이는 $S_{r}$의 $p$에서의 법곡률과 부호가 같다. 따라서 $\left| \kappa_{n} \right| \ge \frac{1}{r}$이고, $\kappa_{1}, \kappa_{2}$를 주곡률라고 하면,

$$K = \kappa_{1}\kappa_{2} \ge \dfrac{1}{r^{2}} \gt 0$$

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