📂기하학

곡률이 0인 회전면

정리¹

$M$을 단위속력곡선 $\boldsymbol{\alpha}$의 회전면이고 가우스 곡률이 $K=0$이라고 하자. 그러면 $M$은 다음의 경우 중 하나를 만족한다.

• 원통의 한 부분이다.
• 평면의 한 부분이다.
• 원뿔의 한 부분이다.

더욱이 이 곡면들은 국소적으로 등거리 이다.

증명

회전면의 가우스 곡률이 $K = 0$이라고 하자. 회전면의 곡률은 $K = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r}$이므로, $r^{\prime \prime} = 0$이다. 따라서

$$r^{\prime \prime}(s) = 0 \implies r^{\prime}(s) = a \implies r(s) = as + b$$

$z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}$이므로,

$$z^{\prime} = \pm \sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}} = \pm \sqrt{1 - a^{2}}$$

$$\implies z = \pm \sqrt{1-a^{2}}s + d = cs + d$$

따라서 곡선 $\boldsymbol{\alpha} = (r, z)$는 다음과 같다.

$$\boldsymbol{\alpha}(s) =\big(r(s), z(s)) = (as + b, cs + d),\quad a,b,c,d \in \mathbb{R}$$

만약 $a=0$이면, $\alpha (s) = (b, cs + d)$이고 이로 만들어지는 회전면은 원통의 일부이다.

만약 $c=0$이면, $\alpha (s) = (as + b, d)$ 평면이고 이로 만들어지는 회전면은 평면의 일부이다.

만약 $a\ne 0, c\ne 0$이면, $\alpha (s) = (as + b, cs + d)$이고 이 선은 $r$축과 $z$축 어디에도 평행하지 않다. 이 곡선으로 만들어지는 회전면은 원뿔의 일부이다.

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