📂기하학

곡률이 양수인 두 회전면은 국소 등거리이다

정리¹

$M_{1}$, $M_{2}$를 각각 단위속력곡선 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$, $\boldsymbol{\alpha}_{2}$의 회전면이라고 하자. 만약 $M_{1}$, $M_{2}$가 상수인 곡률 $a^{2} \gt 0$을 가지면, $M_{1}$, $M_{2}$는 국소적으로 등거리이다.

증명

보조정리

다음의 두 명제는 동치이다.

• 두 곡면 $M$과 $N$이 국소적으로 등거리이다.

• 모든 $p \in M$에 대해서, 열린집합 $U \subset \mathbb{R}^{2}$와 제1 기본형식의 계수 $g_{ij}$가 같은 두 좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \to M$, $\mathbf{y} : U \to N$ $(p \in \mathbf{x}(U))$이 존재한다.

위 보조정리에 따라 곡률이 $K = a^{2}$인 모든 회전면이 같은 메트릭 행렬을 가질 수 있다는 것을 보이면 된다. 따라서 다음의 주장을 증명하려 한다.

Claim: 곡률이 $K = a^{2}$인 모든 회전면에 대해서, $\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a^{2}}\cos^{2}as \end{bmatrix}$를 메트릭 계수 행렬로 갖는 좌표조각사상이 존재한다.

단위속력곡선 $\boldsymbol{\alpha}(s) = (r(s), z(s))$에 의해 만들어지는 회전면의 좌표조각사상은 $\mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right)$이다. 곡률이 $K = a^{2} > 0$인 회전면의 좌표계 $(s, \theta)$에 대한 메트릭은 다음과 같다.

$$\begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A^{2} \cos^{2}(as) \end{bmatrix}$$

이제 새로운 좌표계 $(s, \phi), \phi = a A \theta$를 생각하자. $f : (s, \phi) \mapsto (s, \theta)$라고 하면 $f$의 자코비안은 다음과 같다.

$$J = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial s}{\partial s} & \dfrac{\partial s}{\partial \phi} \\[1em] \dfrac{\partial \theta}{\partial s} & \dfrac{\partial \theta}{\partial \phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{aA} \end{bmatrix}$$

따라서, 새 좌표계의 메트릭 행렬을 $\begin{bmatrix}\overline{g}_{\alpha \beta}\end{bmatrix}$라 하면, 좌표변환과 메트릭 사이의 관계에 의해,

$$\begin{align*} \begin{bmatrix}\overline{g}_{\alpha \beta}\end{bmatrix} &= J^{t} \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} J \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{aA} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A^{2} \cos^{2}(as) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{aA} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a^{2}}\cos^{2}(as) \end{bmatrix} \end{align*}$$

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