📂기하학

가우스 곡률이 양수인 회전면

개요¹

단위 속력 곡선 $\boldsymbol{\alpha}(s) = \left( r(s), z(s) \right)$에 의해 만들어지는 회전면을 $M$이라 하자.

$$ M = \left\{ \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) : 0 \le \theta \le 2\pi, s \in (s_{0}, s_{1}) \right\} $$

$M$의 좌표조각사상 $\mathbf{x}$는 다음과 같다.

$$ \mathbf{x}(s, \theta) = \left( r(s)\cos\theta, r(s)\sin\theta, z(s) \right) $$

이때 이 회전면의 가우스 곡률은 다음과 같다.

$$ K = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r} $$

가우스 곡률이 $K = -\dfrac{r^{\prime \prime}}{r} = a^{2}$으로 양수인 회전면에 대해 설명한다.

설명

위 가정에 의해 $r^{\prime \prime} + a^{2}r = 0$을 얻는다. 이는 2계 상미분방정식이므로, 해는 다음과 같다.

$$ r(s) = a_{1}\cos(as) + a_{2}\sin(as) = A\cos(as + b) $$

여기서 $b=0$이라고 두자. 그러면 $r>0$이라는 가정이 있었으므로, $A > 0$이고, $\left| s \right| \lt \pi/2a$이다. 또한 $z^{\prime} = \pm\sqrt{1 - (r^{\prime})^{2}}$이므로 아래의 정리를 얻는다.

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정리

$M$을 단위속력곡선 $\boldsymbol{\alpha}(s)$로 만들어지는 회전면이고, 가우스 곡률이 양수인 상수 $K = a^{2}$이라고 하자. 그러면 $\boldsymbol{\alpha}(s) = \left( r(s), z(s) \right)$는 다음과 같이 주어진다.

$$ \begin{align} r(s) &= A\cos (as),\quad \left| s \right| \lt \pi/2a \nonumber \\ z(s) &= \pm \int_{0}^{s} \sqrt{1 - a^{2}A^{2} \sin^{2}(at)}dt + C \end{align} $$

여기서 $A > 0, C$는 상수이다.

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만약 $A \ne \dfrac{1}{a}$이면, 주어진 적분 $(1)$은 초등적분으로 나타나지 않는데, 이를 타원적분이라 한다.

만약 $A = \dfrac{1}{a}$이면, 간단하게 $z(s) = \pm {\displaystyle \int}_{0}^{s} \cos(at)dt + C = \pm\frac{1}{a}\sin (as) + C$이다. 따라서 $r^{2} + z^{2} = \frac{1}{a^{2}}$이므로 회전면 $M$은 구이다.

$A$의 값에 따른 회전면의 모양은 각각 다음과 같다.

또한 $r = A\cos(as)$이므로, 메트릭 계수 행렬은,

$$ \begin{bmatrix} g_{ij} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & A^{2} \cos^{2}(as) \end{bmatrix} $$