📂기하학

두 곡면 사이에서 미분가능한 함수

정의¹

두 곡면 $M, N$ 사이의 함수 $f : M \to N$가 주어졌다고 하자. 점 $p \in M$, $f(p) \in N$을 포함하는 좌표조각사상을 $\mathbf{x} : U \to M$, $\mathbf{y} : V \to N$이라 하자. 만약 $\mathbf{y}^{-1} \circ f \circ \mathbf{x} : U \to V$가 미분가능하면, $f$를 점 $p$에서 미분가능하다고 한다.

설명

두 곡면 $M, N$도 어차피 $\mathbb{R}^{3}$의 부분집합인데 $f$의 미분가능성을 보통의 미분처럼 생각하지않는 이유가 뭘까? 이에 대한 답은 간단하게도 아래의 꼴

$$f^{\prime}(p) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(p+h) - f(p)}{h}$$

에서 분자의 $f(p+h) - f(p)$다시 $M$에 속하지 않을 수 있기 때문이다. 다시말해 일반적으로 곡면 위의 점은 덧셈에 대해서 닫혀있지 않다. 반지름이 $1$인 구만 생각해봐도 임의의 두 점을 더하면 구면 위를 벗어난다는 것을 알 수 있다.

따라서 $M$과 $N$의 좌표조각으로 $\mathbf{y}^{-1} \circ f \circ \mathbf{x}$를 생각해준다. 그러면 이 함수는 $\mathbb{R}^{2}$의 평평한 부분집합인 $U$에서 $V$로의 함수이므로 우리가 아는 보통의 미분에 대해서 말할 수 있게 된다.

$$\mathbf{y}^{-1} \circ f \circ \mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{2} \to V \subset \mathbb{R}^{2}$$