📂기하학

곡선을 따라서 평행한 벡터필드일 필요충분조건

정리¹

$\boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(t), \gamma^{2}(t) \right)$를 좌표조각사상 $\mathbf{x}$ 위의 정칙 곡선이라고 하자. $\mathbf{X}(t)$를 곡선 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라서 미분가능한 벡터필드라고 하자.

$$\mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}$$

그러면 $\mathbf{X}(t)$가 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라서 평행할 필요충분조건은 다음과 같다.

$$0 = \dfrac{d X^{k}}{d t} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t},\quad k=1,2$$

증명

$\mathbf{X}$가 평행하다라는 것의 정의는 $\mathbf{X}_{t}$가 곡면과 직교한다는 것이다. 따라서, $\mathbf{x}_{l}$은 접평면의 기저이므로, 다음이 성립한다.

$$\mathbf{X} \text{ is parallel } \iff 0 = \left\langle \dfrac{d \mathbf{X}}{d t}, \mathbf{x}_{l} \right\rangle$$

이때 $\mathbf{X}_{t}$를 계산하면 다음과 같다.

$$\dfrac{d \mathbf{X}}{d t} = \dfrac{d}{dt}\left( \sum_{i}X^{i}\mathbf{x}_{i}\right) = \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \mathbf{x}_{i} + \sum_{i} X^{i}\dfrac{d \mathbf{x}_{i}}{d t} = \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \mathbf{x}_{i} + \sum_{i,j} X^{i}\mathbf{x}_{ij}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t}$$

따라서

$$\begin{align} \mathbf{X} \text{ is parallel } \iff 0 =&\ \left\langle \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle + \left\langle \sum_{i,j} X^{i}\mathbf{x}_{ij}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle \nonumber \\ =&\ \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \left\langle \mathbf{x}_{i} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle + \sum_{i,j}\left\langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} \nonumber \\ =&\ \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} g_{il} + \sum_{i,j}\left\langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} \label{dfsdf} \end{align}$$

이때 $g_{il}$은 제1 기본형식의 계수이다. 이제 위 식의 양변에 $g^{lk}$를 곱하여 인덱스 $l$에 대해서 더하면 다음과 같다.

$$0 = \sum_{i,l} \dfrac{d X^{i}}{d t} g_{il}g^{lk} + \sum_{i,j,l}\left\langle \mathbf{x}_{ij} , \mathbf{x}_{l} \right\rangle g^{lk} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t}$$

그러면 $g_{il}g^{lk}$의 성질과 크리스토펠 심볼의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} 0 =&\ \sum_{i} \dfrac{d X^{i}}{d t} \delta_{i}^{k} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t} \\ =&\ \dfrac{d X^{k}}{d t} + \sum_{i,j} \Gamma_{ij}^{k} X^{i}\dfrac{d \gamma^{j}}{d t},\quad k=1,2 \end{align*}$$

역으로, 위 식의 양변에 $g_{kl}$을 곱하고 인덱스 $k$에 대해서 더하면 $(1)$을 얻는다.

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