📂기하학

가우스 맵의 정의와 가우스 곡률과의 관계

정의¹

곡면 $M$ 위의 각 점 $p$를 단위 노멀로 매핑하는 함수 $\nu$를 가우스 사상^{Gauss map}이라 한다.

$$\nu : M \to \mathbb{S}^{2} \quad \text{and} \quad \nu (p) = \mathbf{n}_{p}$$

설명

가우스 사상은 normal spherical image라고도 불린다.

정리

곡면 위의 어떤 영역 $\mathscr{R}$에 대해서 $A(\mathscr{R})$을 $\mathscr{R}$의 넓이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$K = \lim \limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})}$$

이때 $K$는 가우스 곡률이다.

증명

$\mathbf{n} : \mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R}) \to \mathbb{S}^{2}$가 정칙이라고 가정하자. 그러면 좌표조각사상이 된다.

$$\dfrac{\partial \mathbf{n}}{\partial u_{1}} \times \dfrac{\partial \mathbf{n}}{\partial u_{2}} \ne 0$$

$\mathbf{n}$ 자체가 하나의 좌표조각사상이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$A( \nu (\mathscr{R})) = \int\int_{\mathbf{x}^{-1}(\mathscr{R})} \left[ \mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{m} \right] du^{1}du^{2}$$

$$\mathbf{m} = \dfrac{\mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}}{\left\| \mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2} \right\|}$$

근데 $\mathbf{m}$은 $\mathbb{S}^{2}$의 노말이므로 사실 $\mathbf{n} = \mathbf{m}$이다.

$$\lim \limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})} = \dfrac{\left[ \mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n} \right]}{\left[ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right]}$$

스칼라 삼중곱을 계산하면,

$$\begin{align*} (\mathbf{n}_{1} \times \mathbf{n}_{2}) \cdot \mathbf{n} &= \left( L(\mathbf{x}_{1})\times L(\mathbf{x}_{2}) \right) \cdot \mathbf{n} \\ &= \left( \left( {L^{1}}_{1}\mathbf{x}_{1} + {L^{2}}_{1}\mathbf{x}_{2} \right) \times \left( {L^{1}}_{2}\mathbf{x}_{1} + {L^{2}}_{2}\mathbf{x}_{2} \right) \right) \cdot \mathbf{n} \\ &= \left( {L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{2}}_{1}{L^{1}}_{2} \right) (\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}) \cdot \mathbf{n} \end{align*}$$

이때 ${L^{i}}_{j} = \sum \limits_{k} L_{kj}g^{ki}$이다. 따라서

$$\begin{align*} \lim \limits_{\mathscr{R} \to p} \dfrac{A(\nu (\mathscr{R}))}{A(\mathscr{R})} &= \dfrac{\left[ \mathbf{n}_{1}, \mathbf{n}_{2}, \mathbf{n} \right]}{\left[ \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{n} \right]} \\[1em] &= \dfrac{\left( {L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{2}}_{1}{L^{1}}_{2} \right) (\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}) \cdot \mathbf{n}}{(\mathbf{x}_{1} \times \mathbf{x}_{2}) \cdot \mathbf{n}} \\[1em] &= \left( {L^{1}}_{1}{L^{2}}_{2} - {L^{2}}_{1}{L^{1}}_{2} \right) \\ &= \det ([L_{j}^{i}]) \\ &= K \end{align*}$$

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