📂기하학

미분기하에서 오일러 정리

정리¹

$\mathbf{Y}$를 점 $p$에서 곡면 $M$의 단위 탄젠트 벡터라고 하자.

$$\mathbf{Y} \in T_{p}M \quad \text{and} \quad \left\| \mathbf{Y} \right\| = 1$$

$\kappa_{1} \ge \kappa_{2}$를 $p$에서의 주곡률이라 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$II(\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \kappa_{1} \cos^{2} \theta + \kappa_{2} \sin^{2} \theta$$

이때 $II$는 제2 기본형식, $\mathbf{X}_{1}$는 $\kappa_{1}$에 대응하는 주방향, $\theta$는 $\mathbf{Y}$와 $\mathbf{X}_{1}$ 사이의 각도를 의미한다.

증명

주곡률의 정의에 의해 다음이 성립한다.

$$L(\mathbf{X}_{i}) = \kappa_{i} \mathbf{X}_{1},\quad i=1,2$$

또한 $\mathbf{Y}$가 단위벡터이고 $\left\{ \mathbf{X}_{1}, \mathbf{X}_{2} \right\}$가 $T_{p}M$의 정규직교기저이므로, $\mathbf{X}_{1}$사이의 각도를 $\theta$라고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\mathbf{Y} = \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2}$$

따라서 다음을 얻는다. $II (\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) = \left\langle L(\mathbf{Y}), \mathbf{Y} \right\rangle$이므로,

$$\begin{align*} II (\mathbf{Y}, \mathbf{Y}) =&\ \left\langle L(\mathbf{Y}), \mathbf{Y} \right\rangle \\ =&\ \left\langle L(\cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2}), \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \cos \theta L(\mathbf{X}_{1}) + \sin \theta L(\mathbf{X}_{2}), \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \kappa_{1} \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \kappa_{2} \sin \theta \mathbf{X}_{2}, \cos \theta \mathbf{X}_{1} + \sin \theta \mathbf{X}_{2} \right\rangle \\ =&\ \kappa_{1} \cos^{2} \theta + \kappa_{2} \sin^{2} \theta \end{align*}$$

■