📂행렬대수

고유값과 고유벡터

정의¹

$n\times n$ 행렬 $A$가 주어졌다고 하자. $\mathbf{0}$이 아닌 $n\times 1$ 열벡터 $\mathbf{x}$, 그리고 상수 $\lambda$에 대해서 다음의 식을 고유값 방정식^{eigenvalue equation} 혹은 고유값 문제^{eigenvalue problem}이라고 한다.

$$\begin{equation} A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \end{equation}$$

주어진 $A$에 대해서 위와 같이 고유값 방정식을 만족하는 $\lambda$를 $A$의 고유값^eigenvalue이라하고 $\mathbf{x}$를 $\lambda$에 대응하는 $A$의 고유벡터^eigenvector라고 한다.

설명

위 정의는 $\lambda \in \mathbb{R}$, $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$일 때 뿐만 아니라 $\lambda \in \mathbb{C}$, $\mathbf{x} \in \mathbb{C}^{n}$일 때도 그대로 적용된다. ‘$\mathbf{0}$이 아닌’ 이라는 조건이 붙은 까닭은 아래의 식에서 알 수 있듯이 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$이면 항상 성립하기 때문이다.

$$A \mathbf{0} = \mathbf{0} = \lambda \mathbf{0}$$

기하적 모티브

벡터 $\mathbf{x}$를 행렬 $A$로 변환한 $A \mathbf{x}$와 $\mathbf{x}$의 방향이 같다고 하면 어떤 실수 $\lambda$에 대해

$$A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$$

가 성립할 것이다. 행렬 $A$는 본래 어떤 방향의 개념도 갖지 않지만, $A$의 고유벡터가 존재한다면 $A$가 어떤 고유한 방향을 가리킨다고 할 수 있을 것이다. 그래서 이러한 벡터 $\mathbf{x}$ 를 고유 벡터라 부르는 것이다. 예를 들어 다음과 같은 $2\times 2$ 행렬을 생각해보자.

$$A = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

그러면 벡터 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$은 $\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$으로 변환되었을 때 $\begin{bmatrix} 14 \\ 7 \end{bmatrix}$이 되어 방향이 같다. 여기서 벡터 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$에 $\lambda = 7$을 곱해주면 벡터의 길이도 같아져서 고유값 방정식

$$\begin{align*} A \mathbf{x} &= \lambda \mathbf{x} \\ \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} &= 7 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}$$

꼴의 등식을 만족시킨다. 이러한 이유로 $\lambda=7$을 고유값이라 부르는 것이다. 잘 살펴보면 고유벡터는 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$을 늘이고 줄여서 무수히 많이 찾을 수 있지만, 고유값은 변하지 않는 걸 알 수 있다. 그래서 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$을 고유값 $7$에 대응하는 $A$의 고유벡터라고 표현하는 것이다.

이제 이렇게 기하학적으로 풀어 쓴 논의를 일반적으로 확장시키자. 고유값이란 대수적으로 방정식 $A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$를 만족시키는 $\lambda$고, 고유벡터는 주어진 $\lambda$에 대한 방정식의 비자명해가 된다.

고유값 방정식의 풀이

고유값을 구하는 것은 고유값 방정식으로부터 출발한다. $(1)$의 식을 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && A \mathbf{x} &= \lambda \mathbf{x} \\ \implies && A \mathbf{x} - \lambda \mathbf{x} &= \mathbf{0} \\ \implies && A \mathbf{x} - \lambda I \mathbf{x} &= \mathbf{0} \\ \implies && \left( A - \lambda I \right) \mathbf{x} &= \mathbf{0} \end{align*}$$

이때 고유벡터는 조건 $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}$을 만족시켜야한다. 위 선형 시스템이 $\mathbf{0}$이 아닌 해를 가질 동치 조건은 $\left( A - \lambda I \right)$의 역행렬이 존재하지 않는 것이고 이는 다음의 식이 성립하는 것과 동치이다.

$$\det (A -\lambda I) = 0$$

따라서 위의 식을 만족하는 $\lambda$가 $A$의 고유값이 된다. 위 식을 $A$의 특성 방정식^{characteristic equation}이라 한다. $\det (A -\lambda I)$는 $A$가 $n\times n$ 행렬일 때 $n$차 다항식이 되고 이를 특성 다항식^{characteristic polynomial}이라 한다.

참고로 $A+B$ 의 고유값은 $A$, $B$ 의 고유값의 합과 다를 수 있고, $AB$ 의 고유값 역시 $A$, $B$ 의 고유값의 곱과 다를 수 있다. 또한 고유값들을 방정식의 해로써 구해내는 것에서 알 수 있겠지만 꼭 실수라는 보장은 전혀 없다.

예시

고유값 구하기

풀이의 예로 다시 $A = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$을 생각해보자. $A-\lambda I = \begin{bmatrix} 6 - \lambda & 2 \\ 2 & 3 - \lambda \end{bmatrix}$ 이므로, $A$의 특성 방정식을 풀어보면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && \det (A - \lambda I) &= 0 \\ \implies && (6 - \lambda)(3 - \lambda) - 4 &= 0 \\ \implies && \lambda^2 - 9 \lambda + 18 - 4 &= 0 \\ \implies && (\lambda - 2)(\lambda - 7) &= 0 \end{align*}$$

따라서 $A$의 고유값은 $\lambda = 2$와 $\lambda = 7$이다. $\lambda$에 $2$와 $7$을 대입해보면 각각의 고유값에 대응되는 고유벡터를 구할 수 있다. $\lambda = 7$인 경우의 예시만 소개한다.

$\lambda = 7$에 대응되는 고유벡터 구하기

$\lambda = 7$를 $(1)$에 대입하고 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} && \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} &= 7\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{bmatrix} \\ \implies && \begin{bmatrix} 6x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} + 3x_{2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 7x_{1} \\ 7x_{2} \end{bmatrix} \\ \implies && \begin{bmatrix} -x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} - 4x_{2} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{align*}$$

이를 풀면 다음과 같다.

$$\left\{ \begin{align*} -x_{1} + 2x_{2} &= 0 \\ 2x_{1} - 4x_{2} &= 0 \end{align*} \right.$$

$$\implies x_{1} = 2x_{2}$$

따라서 $0$이 아닌 모든 $x_{2}$에 대해서 벡터 $\begin{bmatrix} 2x_{2} \\ x_{2} \end{bmatrix}$가 $\lambda = 7$에 대응하는 고유벡터가 된다. 보통은 구하기 가장 간단한 꼴 혹은 크기가 $1$이 되는 단위벡터로 구한다. $x_{2} = 1$을 대입하면 아래의 고유벡터를 얻는다.

$$A = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

성질

• 양의 정수 $k$에 대해서, $\lambda$가 행렬 $A$의 고유값이고 $\mathbf{x}$가 $\lambda$에 대응되는 고유벡터이면, $\lambda ^{k}$는 $A^{k}$의 고유값이고 $\mathbf{x}$는 $\lambda ^{k}$에 대응되는 고유벡터이다.