📂기하학

노말 섹션의 정의와 무스니어의 정리

정의¹

곡면 $M$ 위의 곡선 $\boldsymbol{\gamma}$가 주어졌다고 하자. $p \in M$에서의 노말 $\mathbf{n}(p)$과 $\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(p) \in T_{p}M$가 생성하는 평면을 $\Pi$라고 표기하자. $M \cap \Pi$를 $p$에서 $\boldsymbol{\gamma}^{\prime}$ 방향으로의 $M$의 노말 섹션^{normal section}이라고 한다.

정리²

점 $p$에서 법곡률이 $\kappa_{n}$인 곡면 $M$위의 단위속력곡선을 $\boldsymbol{\gamma}(s)$라고 하자. 그리고 $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$를 노말 섹션이라고 하자. 그러면 평면 곡선 $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$의 곡률 $\tilde{\kappa}$는 다음의 식을 만족한다.

$$| \kappa_{n} |= \tilde{\kappa}$$

설명

이를 Meusnie의 정리라 한다. Meusnier는 프랑스 사람으로 파파고에서는 [무스니어], 구글에서는 [뫼니에] 정도로 발음하는 것 같다.

normal section은 법곡면, 수직곡면으로 번역되기도 하는데 사실상 곡면위의 곡선을 나타내게 되므로 적절한 순화라고 볼 수 없다. 대한수학회에서는 수직절단선이라는 번역도 찾아볼 수 있지만 그냥 노말 섹션이라고 하는게 가장 나아보인다.

노말 섹션 $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$는 $M$ 위에서 보면 공간 곡선이지만, $\Pi$ 위의 평면 곡선이기도 하다.

증명

보조 정리

$\alpha, \beta$를 $\alpha (0) = \beta (0)$가 성립하는 정칙 곡선라고 하자. 만약 $\lambda \ne 0$에 대해서 두 곡선의 속도벡터가 $\alpha^{\prime}(0) = \lambda \beta ^{\prime}(0)$를 만족하면, $t=0$일 때 두 곡선의 법곡률 $\kappa_{n}$은 같다.

보조 정리에 의해 두 곡선 $\boldsymbol{\gamma}, \tilde{\boldsymbol{\gamma}}$의 법곡률^{normal curvature}은 $\kappa_{n}$으로 서로 같다. 이때 $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$의 점 $p$에서의 노말은 $\pm \mathbf{n}$이다.

또한 평면 곡률의 성질에 의해, $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$의 평면곡률 $\tilde{k}$는 다음과 같다.

$$| \tilde{k} | = \tilde{\kappa}$$

그러면 평면곡률과 법곡률의 정의에 의해,

$$\tilde{k} =\pm \left\langle \tilde{\boldsymbol{\gamma}}^{\prime \prime}, \mathbf{n} \right\rangle = \pm \kappa_{n}$$

따라서

$$\left| \kappa_{n} \right| = | \tilde{k} | = \tilde{\kappa}$$

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