측지선 좌표조각사상
정의1
$U \subset \mathbb{R}^{2}$를 열린집합이라고 하자. $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 다음을 만족하는 좌표조각사상이라고 하자.
$$ g_{11} = 1 \quad \text{and} \quad g_{12} = g_{21} = 0 $$
$$ \left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & g_{22} \end{bmatrix} $$
이때 $g_{ij}$는 제1 기본형식의 계수이다. 이러한 $\mathbf{x}$를 측지선 좌표조각사상geodesic coordinate patch이라 한다.
$${}$$
곡면 $M$에 대해서, $\gamma\left( [a,b] \right) \subset \mathbf{x}\left( U \right)$를 만족하는 곡선 $\gamma : [a,b] \to M$이 $\mathbf{x}$의 $u^{2}-$곡선이면 $\mathbf{x}$를 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라가는 측지선 좌표조각사상geodesic coordinate patch along $\boldsymbol{\gamma}$라 한다.
정리2
$M$을 곡면, $\alpha : [a,b] \to M$을 닫혀있지 않은 단순정칙곡선이라고 하자. 그러면 $\alpha$를 따라가는 측지선 좌표조각사상 $\mathbf{x}$가 곡면 $M$에 존재한다.
성질
측지 좌표조각사상 $\mathbf{x}$의 메트릭 계수를 $\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix}$라고 두자. ($h \gt 0$)
$$ g = \det(\left[ g_{ij} \right]) = h^{2} = g_{22} $$
크리스토펠 심볼
$\mathbf{x}$의 크리스토펠 심볼은 다음과 같으며, 아래의 것들 외에는 모두 $0$이다.
$$ \Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h} $$
이때 $(u^{1}, u^{2})$는 $U$의 좌표이며, $h_{i} = \dfrac{\partial h}{\partial u^{i}}$이다.