📂기하학

측지선 좌표조각사상

정의¹

$U \subset \mathbb{R}^{2}$를 열린집합이라고 하자. $\mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3}$를 다음을 만족하는 좌표조각사상이라고 하자.

$$g_{11} = 1 \quad \text{and} \quad g_{12} = g_{21} = 0$$

$$\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & g_{22} \end{bmatrix}$$

이때 $g_{ij}$는 제1 기본형식의 계수이다. 이러한 $\mathbf{x}$를 측지선 좌표조각사상^{geodesic coordinate patch}이라 한다.
$${}$$ 곡면 $M$에 대해서, $\gamma\left( [a,b] \right) \subset \mathbf{x}\left( U \right)$를 만족하는 곡선 $\gamma : [a,b] \to M$이 $\mathbf{x}$의 $u^{2}-$곡선이면 $\mathbf{x}$를 $\boldsymbol{\gamma}$를 따라가는 측지선 좌표조각사상^{geodesic coordinate patch along $\boldsymbol{\gamma}$}라 한다.

정리²

$M$을 곡면, $\alpha : [a,b] \to M$을 닫혀있지 않은 단순정칙곡선이라고 하자. 그러면 $\alpha$를 따라가는 측지선 좌표조각사상 $\mathbf{x}$가 곡면 $M$에 존재한다.

성질

측지 좌표조각사상 $\mathbf{x}$의 메트릭 계수를 $\left[ g_{ij} \right] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & h^{2} \end{bmatrix}$라고 두자. ($h \gt 0$)

$$g = \det(\left[ g_{ij} \right]) = h^{2} = g_{22}$$

크리스토펠 심볼

$\mathbf{x}$의 크리스토펠 심볼은 다음과 같으며, 아래의 것들 외에는 모두 $0$이다.

$$\Gamma_{22}^{1} = -hh_{1},\quad \Gamma_{12}^{2} = \Gamma_{21}^{2} = \dfrac{h_{1}}{h},\quad \Gamma_{22}^{2} = \dfrac{h_{2}}{h}$$

이때 $(u^{1}, u^{2})$는 $U$의 좌표이며, $h_{i} = \dfrac{\partial h}{\partial u^{i}}$이다.

가우스 곡률

가우스 곡률은 $K = -\dfrac{h_{11}}{h}$이다.