📂기하학

미분기하에서 방향 도함수

정의¹

$\mathbf{X} \in T_{p}M$를 탄젠트 벡터, $\alpha (t)$를 곡면 $M$ 위의 곡선이라고 하자. 이때 $\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to M$이고 $\alpha (0) = p$를 만족한다. 다시말해 $\mathbf{X} = \dfrac{d \alpha}{d t} (0)$이다. 이제 함수 $f$를 곡면 $M$위의 점 $p \in M$의 어떤 근방에서 정의된 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 $\mathbf{X}$ 방향으로의 $f$의 방향 도함수^{directional derivative} $\mathbf{X}f$를 다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf{X} f := \dfrac{d}{dt_{}} (f \circ \alpha) (0)$$

설명

위와 같은 표기를 쓰는 이유는 고정된 탄젠트 벡터 $\mathbf{X}$가 있으면 $f$가 주어질 때 마다 $\mathbf{X}f$가 하나 결정되기 때문이며, 탄젠트 벡터를 하나의 오퍼레이터라고 생각하는 것이다. 따라서 미분기하에서는 “탄젠트 벡터 = 함수 = 미분” 과 같이 생각한다. 다시말해 탄젠트 벡터를 범함수로서 취급한다.

$$\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}, \quad \text{where } \mathcal{D} \text{ is set of all differentiable functions near } p$$

다음과 같은 표기들이 주로 쓰인다. 탄젠트 벡터를 $\mathbf{X}, \mathbf{v}$와 같이 표기할 때,

$$\mathbf{X}f,\quad \mathbf{X}_{p}f,\quad \nabla_{\mathbf{v}}f, \quad \mathbf{v}_{p}f, \quad \mathbf{v}_{p}\left[ f \right], \quad \alpha^{\prime}(0)f$$

아래의 정리로부터 이러한 방향 도함수를 주어진 좌표조각사상 $\mathbf{x}$로 표현할 수 있다.

정리

$\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{2} \to M$을 좌표조각사상, $p=\mathbf{x}(0,0) \in M$이라 하자. $(u^{1}, u^{2})$를 $U$의 좌표라고 하자. 탄젠트 벡터 $\mathbf{X} \in T_{p}M$는 $\mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}$와 같이 표현된다. 그러면 $f$의 방향 도함수는 다음과 같다.

$$\mathbf{X}f = \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0)$$

특히나 곡선 $\alpha$가 $\mathbf{X} = \alpha^{\prime}(0)$이고 $\alpha (0) = p$이기만 하면, $\mathbf{X}f$는 어떤 곡선을 선택하는지에는 의존하지 않는다.

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벡터 해석에서

$$\nabla _{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \dfrac{\partial f}{\partial x_{1}} u_{1} + \dfrac{\partial f}{\partial x_{2}} u_{2} + \dots + \dfrac{\partial f}{\partial x_{n}} u_{n}$$

와 같은 식이다.

증명

$\alpha$가 좌표조각 $\mathbf{x}$ 위의 곡선이므로 $\alpha (t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$와 같이 표기하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$(f \circ \alpha) (t) = ( f \circ \mathbf{x} ) (\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$$

위 식을 $f \circ \mathbf{x} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$라는 함수와, $t\mapsto (\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$와 같이 맵핑하는 함수의 합성이라고 생각하자. 이를 미분해보면 연쇄법칙에 의해서 다음과 같다.

$$\begin{equation} \dfrac{d}{dt}(f \circ \alpha)(t) = \dfrac{d}{dt} ( f \circ \mathbf{x} ) (\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t)) = \sum \limits_{i} \dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}} \dfrac{d \alpha^{i}}{dt} \end{equation}$$

이때 $\dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}}$의 변수는 $(u^{1}, u^{2})$이며, $\dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}} (u^{1}, u^{2})$를 간단하게 적은 것임에 유의하자. 마찬가지로 $\dfrac{d \alpha^{i}}{dt}(t)$도 변수를 생략하게 간단히 적은것이다.

계속해서 마찬가지로 연쇄법칙에 의해 $\alpha (t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))$를 미분하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \alpha^{\prime} (t) =&\ \dfrac{d \mathbf{x}}{d u^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t}(t) + \dfrac{d \mathbf{x}}{d u^{2}} \dfrac{ d \alpha^{2}}{dt}(t) \\ =&\ \mathbf{x}_{1}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t)) (\alpha^{1})^{\prime}(t) + \mathbf{x}_{2}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t)) (\alpha^{2})^{\prime}(t) \\ =&\ (\alpha^{1})^{\prime}(t) \mathbf{x}_{1} + (\alpha^{2})^{\prime}(t) \mathbf{x}_{2} \end{align*}$$

여기에 $t=0$을 대입하면 다음을 얻는다.

$$\alpha^{\prime}(0) = \mathbf{X} = X^{1}\mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2}$$

따라서 $X^{i} = \dfrac{d\alpha^{i}}{dt} (0)$이 성립한다. 또한 $t=0$일 때 $\alpha (0) = p = \mathbf{x}(0,0)$이므로, $(1)$d에 $t=0$을 대입하면 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \mathbf{X} f = \dfrac{d}{dt_{}} (f \circ \alpha) (0) =&\ \sum \limits_{i} \dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}}(0,0) \dfrac{d \alpha^{i}}{dt}(0) \\ =&\ \sum \limits_{i} X^{i}\dfrac{\partial ( f \circ \mathbf{x} ) }{\partial u^{i}}(0,0) \end{align*}$$

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따름정리

$\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}M$이라고 하자. $f, g$를 $p \in M$ 근방에서 미분가능한 함수라고 하자. $r \in \mathbb{R}^{3}$이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$\left( r\mathbf{X} + \mathbf{Y} \right) f = r\mathbf{X}f + \mathbf{Y} f \\ \mathbf{X}(rf+g) = r\mathbf{X}f + \mathbf{X}g \\ \mathbf{X}_{p}(fg) = \mathbf{X}_{p}(f) g(p) + f(p)\mathbf{X}_{p}(g)$$

세번째 식은 곱의 미분법 $(fg)^{\prime} = f^{\prime}g +fg^{\prime}$을 의미힌다.

증명

정의에 의해 쉽게 보일 수 있다.

$$\begin{align*} \left( r\mathbf{X} + \mathbf{Y} \right) f =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} (rX^{i} + Y^{i}) \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ r\sum \limits_{i=1}^{2} X^{i}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) + \sum \limits_{i=1}^{2}Y^{i}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ r\mathbf{X}f + \mathbf{Y} f \end{align*}$$

$fg(p)= f(p)g(p)$이므로 다음이 성립한다.

$$(fg)\circ \mathbf{x} (u^{1}, u^{2}) = f(\mathbf{x}(u^{1}, u^{2})) g(\mathbf{x}(u^{1}, u^{2})) = f\circ \mathbf{x}(u^{1}, u^{2}) g\circ \mathbf{x}(u^{1}, u^{2})$$

따라서 곱의 미분법에 의해 다음을 얻는다.

$$\begin{align*} \mathbf{X}_{p}(fg) =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial ((fg)\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial ((f\circ \mathbf{x}) (g \circ \mathbf{x}) )}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \left[ \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) (g \circ \mathbf{x}) (0,0) + (f \circ \mathbf{x}) (0,0)\dfrac{\partial (g\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \right] \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) g(p) + f(p) \sum \limits_{i=1}^{2} X^{i} \dfrac{\partial (g\circ \mathbf{x})}{\partial u^{i}} (0,0) \\ =&\ \mathbf{X}_{p}(f) g(p) + f(p) \mathbf{X}_{p}(g) \end{align*}$$

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같이보기

• 해석학에서 방향도함수
• 리만기하학에서 탄젠트 벡터