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고유값이 서로 다른 두 고유벡터는 직교한다 📂양자역학

고유값이 서로 다른 두 고유벡터는 직교한다

정리

임의의 에르미트 연산자 AA의 서로 다른 고유값에 대한 두 고유함수는 서로 직교이다.

{Aψn=anψnAψm=amψm \begin{cases} A\psi_{n}=a_{n}\psi_{n} \\ A\psi_{m}=a_{m}\psi_{m} \end{cases}

이고 an≠ama_{n} \ne a_{m}일 때,

⟨ψn∣ψm⟩=0 \braket{\psi_{n} | \psi_{m}} = 0

증명

에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수이므로, 다음이 성립한다.

⟨Aψn∣ψm⟩=an∗⟨ψn∣ψm⟩=an⟨ψn∣ψm⟩ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m} } ={a_{n}}^{\ast}\braket{\psi_{n}|\psi_{m} } =a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}

또한 에르미트 연산자의 정의에 의해,

⟨Aψn∣ψm⟩=⟨ψn∣A†ψm⟩=⟨ψn∣Aψm⟩=am⟨ψn∣ψm⟩ \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A^{\dagger}\psi_{m}}=\braket{\psi_{n}|A\psi_{m}} = a_{m} \braket{\psi_{n} | \psi_{m}}

따라서 위의 두 식을 빼면 다음과 같다.

0=⟨Aψn∣ψm⟩−⟨Aψn∣ψm⟩=am⟨ψn∣ψm⟩−an⟨ψn∣ψm⟩ 0 = \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}}- \braket{A\psi_{n}|\psi_{m}} = a_{m}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}} - a_{n}\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}   ⟹  (am−an)⟨ψn∣ψm⟩=0 \implies (a_{m}-a_{n})\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0

이 때 am≠ana_{m} \ne a_{n}이므로 ⟨ψn∣ψm⟩=0\braket{\psi_{n}|\psi_{m}}=0

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