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최단거리 곡선이면 측지선이다 📂기하학

최단거리 곡선이면 측지선이다

정리1

γ\boldsymbol{\gamma}를 곡면 MM위의 두 점 P=γ(a),Q=γ(b)P = \boldsymbol{\gamma}(a), Q = \boldsymbol{\gamma}(b)을 잇는 단위 속력 곡선라고 하자. 만약 γ\boldsymbol{\gamma}가 PP와 QQ를 잇는 최단거리 곡선이면, γ\boldsymbol{\gamma}는 측지선이다.

설명

역은 성립하지 않는다. 다시말해 측지선이라고 최단거리 곡선인 것은 아니다.

증명

전략: 귀류법으로 증명한다. 보여야할 것은 κg=0\kappa_{g} = 0이므로, κg≠0\kappa_{g} \ne 0이라고 가정한 뒤, 이때 모순이 생김을 보이면 증명 완료이다.

a<s0<ba \lt s_{0} \lt b이고 κg\kappa_{g}를 γ\boldsymbol{\gamma}의 측지곡률이라고 하자. 이제 κg(s0)≠0\kappa_{g}(s_{0}) \ne 0라고 가정하자. 그러면 γ\boldsymbol{\gamma}는 연속이므로 다음이 성립하는 c,dc, d가 존재한다.

  • κg([c,d])≠0\kappa_{g}([c,d]) \ne 0
  • a<c<s0<d<ba \lt c \lt s_{0} \lt d \lt b
  • 좌표조각사상 x\mathbf{x}에 대해, γ([c,d])⊂x(U)\boldsymbol{\gamma}([c,d]) \subset \mathbf{x}(U)

이제 C2C^{2} 함수 λ:[c,d]→R\lambda : [c,d] \to \mathbb{R}을 다음과 같이 정의하자.

λ(c)=λ(d)=0andλ(s0)≠0andλ(s)κg(s)≥0 for c≤s≤d \lambda (c) = \lambda (d) = 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s_{0}) \ne 0 \quad \text{and} \quad \lambda (s)\kappa_{g}(s) \ge 0 \quad \text{ for } c\le s \le d

S=n×γ′\mathbf{S} = \mathbf{n} \times \boldsymbol{\gamma}^{\prime}는 탄젠트 공간에 있으므로, 어떤 vi:[c,d]→Rv^{i} : [c,d] \to \mathbb{R}에 대해서 λ(s)S=∑vi(s)xi\lambda (s) \mathbf{S} = \sum v^{i}(s)\mathbf{x}_{i}라고 하자.

이제 γ(s)=x(γ1(s),γ2(s))\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}(\gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s))와 같이 주어진다고 하자. 그리고 ∣t∣\left| t \right|가 충분히 작은 tt에 대해서 아래와 같은 γ\boldsymbol{\gamma}의 퍼터베이션 α(s;t)\boldsymbol{\alpha}(s ;t)을 생각하자.

슬라이드17.PNG

α(s;t)=x(γ1(s)+tv1(s),γ2(s)+tv2(s)) \boldsymbol{\alpha}(s ;t) = \mathbf{x}\left( \gamma^{1}(s) + t v^{1}(s), \gamma^{2}(s) + t v^{2}(s) \right)

α\boldsymbol{\alpha}는 γ(c)\boldsymbol{\gamma}(c)에서 γ(d)\boldsymbol{\gamma}(d)로 가는 곡선이며, α(s;0)=γ(s)\boldsymbol{\alpha}(s ; 0) = \boldsymbol{\gamma}(s)이다. α(s;t)\boldsymbol{\alpha}(s; t)의 길이를 L(t)L(t)라고 하자.

L(t)=∫cd⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds L(t) = \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds

그러면 α(s,0)=γ\boldsymbol{\alpha}(s, 0) = \boldsymbol{\gamma}이고, γ\boldsymbol{\gamma}는 최단거리 곡선이므로, L(t)L(t)는 t=0t = 0일 때 최솟값을 가진다. 또한 L(0)<L(t∗≠0)L(0) \lt L(t^{\ast} \ne 0)이므로, L′(0)=0L^{\prime}(0) = 0이다. 한편 L′L^{\prime}을 구해보면,

L′(t)= ddt∫cd⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds=∫cd∂∂t⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds= ∫cd122⟨∂2α∂t∂s,∂α∂s⟩⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds=∫cd⟨∂2α∂t∂s,∂α∂s⟩⟨∂α∂s,∂α∂s⟩1/2ds \begin{align*} L^{\prime}(t) =&\ \dfrac{d }{d t} \int_{c}^{d} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds = \int_{c}^{d} \dfrac{\partial }{\partial t}\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2} ds \\[1em] =&\ \int_{c}^{d} \dfrac{1}{2} \dfrac{2\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds = \int_{c}^{d}\dfrac{\left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle }{\left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle ^{1/2}}ds \end{align*}

이때 γ\boldsymbol{\gamma}가 단위속력 곡선이므로, t=0t=0일 때

⟨∂α∂s,∂α∂s⟩=⟨∂γ∂s,∂γ∂s⟩=1 \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\gamma}}{\partial s} \right\rangle = 1

따라서

L′(0)=∫cd⟨∂2α∂t∂s,∂α∂s⟩∣t=0ds L^{\prime}(0) = \int_{c}^{d} \left. \left\langle \dfrac{\partial^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial t \partial s}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} ds

여기서 dds⟨∂α∂t,∂α∂s⟩=⟨∂2α∂s∂t,∂α∂s⟩+⟨∂α∂t,∂2α∂s2⟩\dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle = \left\langle \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s \partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle + \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle이므로 이를 위 식에 대입하면,

L′(0)= ∫cddds⟨∂α∂t,∂α∂s⟩∣t=0−⟨∂α∂t,∂2α∂s2⟩∣t=0ds= [⟨∂α∂t,∂α∂s⟩∣t=0]cd−∫cd⟨∂α∂t,∂2α∂s2⟩∣t=0ds \begin{align*} L^{\prime}(0) =&\ \int_{c}^{d} \left. \dfrac{d}{ds} \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} - \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \\[1em] =&\ \left[ \left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial s} \right\rangle \right|_{t=0} \right]_{c}^{d} - \int_{c}^{d}\left. \left\langle \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t}, \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}} \right\rangle \right|_{t=0} ds \end{align*}

이때 ∂α∂t∣t=0=∑vi(s)xi=λ(s)S\left. \dfrac{\partial \boldsymbol{\alpha}}{\partial t} \right|_{t=0} = \sum v^{i}(s) \mathbf{x}_{i} = \lambda (s) \mathbf{S}인데, λ(c)=λ(d)=0\lambda (c) = \lambda (d)=0 이므로 첫째항은 00이다. 따라서, ∂2α∂s2∣t=0=γ′′=κgS+κnn\left. \dfrac{\partial ^{2} \boldsymbol{\alpha}}{\partial s^{2}}\right|_{t=0} = \boldsymbol{\gamma}^{\prime \prime} = \kappa_{g}\mathbf{S} + \kappa_{n}\mathbf{n}이고 L′(0)=0L^{\prime}(0) = 0이었으므로,

0=L′(0)= 0−∫cd⟨λ(s)S,κg(s)S+κn(s)n⟩ds= −∫cdλ(s)κg(s)ds \begin{align*} 0 = L^{\prime}(0) =&\ 0 - \int_{c}^{d} \left\langle \lambda (s) \mathbf{S}, \kappa_{g}(s) \mathbf{S} + \kappa_{n}(s) \mathbf{n} \right\rangle ds \\ =&\ -\int _{c}^{d} \lambda (s) \kappa_{g}(s) ds \end{align*}

그런데 이때 λ(s)κg(s)>0\lambda (s) \kappa_{g}(s) \gt 0이라고 가정했으므로 모순이다.

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  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p113 ↩︎