미분다양체 위의 이멀젼과 임베딩
정의1
$M^{m}, N^{m}$을 각각 $m, n$차원 미분 다양체, $\phi : M \to N$을 미분가능한 함수라고 하자.
모든 점 $p \in M$에 대해서 미분 $d\phi_{p}$가 일대일 함수이면, $\phi$를 이멀젼immersion, 몰입이라 한다.
$\phi$가 이멀젼이면서, 위상동형이면 $\phi$를 임베딩embedding, imbedding이라 한다.
포함함수 $i : M \subset N$가 임베딩이면, $M$을 $N$의 부분 다양체submanifold라고 한다.
설명
정의에 의해 $\phi : M^{m} \to N^{n}$이 이멀젼이면 $m \le n$이고, 이 둘의 차이인 $n-m$을 이멀젼 $\phi$의 여차원codimension이라 한다.
모든 이멀젼은 국소적으로는 임베딩이 된다.
예시2
미분가능하지 않음
$$ \begin{align*} \alpha : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^{2} \\ t &\mapsto (t, \left| t \right|) \end{align*} $$
$\alpha$는 $t=0$에서 미분가능하지 않다.
미분가능하지만, 이멀젼이 아님
$$ \begin{align*} \alpha : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^{2} \\ t &\mapsto (t^{3}, t^{2}) \end{align*} $$
$\alpha$는 모든 점에서 미분가능하다. 하지만 미분을 구해보면,
$$ d\alpha_{t} = \begin{bmatrix} 3t^{2} \\ 2t \end{bmatrix} $$
이므로 $t=0$일 때 $d\alpha_{0} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$이다. 따라서 이는 일대일 변환이 아니므로 $\alpha$는 이멀젼이 아니다.
이멀젼이지만, 임베딩이 아님1
$$ \begin{align*} \alpha : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^{2} \\ t &\mapsto (t^{3}-4t, t^{2}-4) \end{align*} $$
$\alpha$는 모든 점에서 미분가능하고, $d\alpha_{t} = \begin{bmatrix} 3t^{2}-4 \\ 2t \end{bmatrix}$는 모든 $t$에서 $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$이 되지 않으므로 이멀젼이다. 하지만 $\alpha (2)= (0,0) = \alpha (-2)$이므로 $\alpha$는 위상동형이아니다. 따라서 $\alpha$는 임베딩이 아니다.
이멀젼이지만, 임베딩이 아님2
$$ \alpha : (-3,0) \to \mathbb{R}^{2} $$
$$ \alpha (t) = \begin{cases} (0, -(t+2)), & t \in (-3, -1) \\ \text{regular curve (see figure)}, & t \in (-1, -\frac{1}{\pi}) \\ (-t, \sin\frac{1}{t}), & t \in (-\frac{1}{\pi}, 0) \end{cases} $$
이때 $\alpha (-\frac{1}{\pi}, 0)$는 위상수학자의 사인 곡선의 그래프이다. 주어진 $\alpha$는 이멀젼이다. 하지만 $\alpha^{-1}$를 생각해보면 $x$축의 좌표가 $0$에 가까워질수록 굉장히 빨리 진동하기 때문에 어떤 구간 $\color{red}I$에 대해서는, $\alpha^{-1}(U) \subset {\color{red}I}$인 오픈셋 $U$를 잡지 못하게 된다. 따라서 $\alpha$는 임베딩이 아니다.
임베딩
$\mathbb{R}^{3}$의 곡면 $M$을 생각해보자. 그러면 좌표조각사상 $\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{2} \to M$은 임베딩이 된다.