📂기하학

미분기하에서 회전면

정의¹

$z$를 주어진 축의 변수, $r>0$을 $z-$축으로부터의 거리라고 하자. 그러면 아래의 그림과 같은 $rz-$평면의 곡선 $\alpha$를 생각할 수 있다.

아래의 그림과 같이, 곡선 $\alpha$를 $z-$축에 대해서 회전하여 얻은 곡면을 회전면^{surface of revolution}이라 한다.

회전면은 다음과 같이 표현된다.

$$ \mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos \theta, r(t)\sin \theta, z(t) \right) $$

회전면의 $t-$매개변수 곡선을 메리디안^{meridian, 자오선}이라 하고, $\theta-$매개변수 곡선을 평행선^{circle of latitude, parallel}이라 한다.

설명

회전체라고 해도 의사소통에 크게 문제는 되지 않겠지만, 속이 비어있기 때문에 엄밀히 말해서 회전체^{solid of revolution}는 아니다.

모든 메리디안은 측지선이다. 이와는 달리 평행선이 측지선이 되기 위해서는 몇가지 조건이 필요하다.

정리

곡선 $\alpha (t) = \left( r(t), z(t) \right)$가 정칙 곡선이고 일대일이면, $\alpha$에 의해 만들어지는 회전면 $\mathbf{x}(t, \theta) = \left( r(t)\cos \theta, r(t)\sin \theta, z(t) \right)$는 단순 곡면이다. 이때 $\theta$의 조건은 $-\pi \lt \theta \lt \pi$이다.