📂함수

항등 함수

정의¹

집합 $X$에 대해서 다음과 같은 함수 $I_{X} : X \to X$를 항등함수^{identity function}라고 한다.

$$ I_{X}(x) = x,\quad \forall x \in X $$

설명

다음과 같은 표기들이 주로 쓰인다.

$$ I,\quad \text{id},\quad \text{1} $$

미분다양체 위의 탄젠트 벡터는 $\dfrac{d (f\circ \alpha)}{d t}$와 같이 정의되는데, 미분할 함수를

$$ f \circ \alpha = f \circ I \circ \alpha = f \circ \mathbf{x} \circ \mathbf{x}^{-1} \circ \alpha $$

와 같이 분해하여, 탄젠트 벡터를 임의의 좌표계 $\mathbf{x}$에 대해서 표현하면서도 이 좌표계의 선택에 의존하지 않도록 해줄 수 있다.

예시

항등행렬

$$ I_{n\times n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$