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n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다 📂기하학

n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다

개요

MMnn차원 미분 다양체, TpMT_{p}M을 점 pMp\in M 위의 탄젠트 공간이라고 하자. 탄젠트 공간은 벡터공간, 특히 nn차원 벡터공간이 된다. 다음의 집합이 탄젠트 공간의 기저가 되며, 이 사실은 미분다양체를 공부하는데에 매우 유용하게 쓰인다.

B={xip:1in} \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\}

정리11

TpMT_{p}MR\mathbb{R}-벡터공간이다.

증명

벡터공간이 되기 위한 조건은 다음과 같이 열가지가 있는데, 이 중에서 몇 개만 해보자.

u,v,wV\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in Vk,lFk, l \in \mathbb{F}에 대해서,

(A1) u,v\mathbf{u}, \mathbf{v}VV의 원소이면 u+v\mathbf{u}+\mathbf{v}VV의 원소이다.

(A2) u+v=v+u\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}

(A3) (u+v)+w=u+(v+w)(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})

(A4) VV내의 모든 u\mathbf{u}에 대해서, u+0=0+u=u\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u}를 만족하는 0\mathbf{0}VV내에 존재한다.

(A5) VV내의 모든 u\mathbf{u}에 대해서 u+v=v+u=0\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} = \mathbf{0} 를 만족하는 v\mathbf{v}VV내에 존재한다.

(M1) u\mathbf{u}VV의 원소이면 kuk \mathbf{u}VV의 원소이다.

(M2) k(u+v)=ku+kvk(\mathbf{u} + \mathbf{v})=k\mathbf{u} + k\mathbf{v}

(M3) (k+l)u=ku+lu(k+l)\mathbf{u}=k\mathbf{u}+ l\mathbf{u}

(M4) k(lu)=(kl)(u)k(l\mathbf{u})=(kl)(\mathbf{u})

(M5) 1F1\in \mathbb{F}에 대해서, 1u=u1\mathbf{u} = \mathbf{u}

X,YTpM\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in T_{p}M이라고 하자. pp에서 미분가능한 함수들의 집합을 D\mathcal{D}라고 하자.

D:={f:MRfunctions on Mthat are differentiable at p} \mathcal{D} := \left\{ f : M \to \mathbb{R} | \text{functions on } M \text{that are differentiable at } p \right\}

벡터공간이 되려면 원소간의 합과 상수곱이 정의되어야 한다. 합과 상수곱을 다음과 같이 정의하자.

(X+Y)(f):=Xf+Yf(rX)(f):=rXf,rR (\mathbf{X} + \mathbf{Y}) (f) := \mathbf{X}f + \mathbf{Y}f \\ (r \cdot \mathbf{X}) (f) := r \cdot \mathbf{X}f,\quad r \in \mathbb{R}

(A1) X\mathbf{X}Y\mathbf{Y}가 각각 DR\mathcal{D} \to \mathbb{R}인 함수이므로 Xf,YfR\mathbf{X}f, \mathbf{Y}f \in \mathbb{R}이다. 두 실수의 합은 실수이므로 X+Y:DR\mathbf{X} + \mathbf{Y} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}이다. 따라서 X+YTpM\mathbf{X} + \mathbf{Y} \in T_{p}M이다.

(M1) XfR\mathbf{X}f \in \mathbb{R}이고 rRr \in \mathbb{R}이므로, rXfRr \cdot \mathbf{X} f \in \mathbb{R}이다. 따라서 rX:DRr\mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}이고, rXTpMr\mathbf{X} \in T_{p}M이다.

(A4) 0:DR\mathbf{0} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}0f=0(fD)\mathbf{0} f = 0 (\forall f \in \mathcal{D})과 같이 정의하자. 그러면

(X+0)(f)=Xf+0f=Xf (\mathbf{X} + \mathbf{0})(f) = \mathbf{X}f + \mathbf{0}f = \mathbf{X}f

(A5) X-\mathbf{X}(X)(f):=(1)Xf(-\mathbf{X})(f) := (-1) \cdot \mathbf{X}f와 같이 정의하면, (M1)에 의해서 (1)XTpM(-1)\mathbf{X} \in T_{p}M이고, X+(X)=0\mathbf{X} + (-\mathbf{X}) = \mathbf{0}가 성립한다.


정리2

TpMT_{p}Mnn차원 벡터공간이다. 특히 x:UM\mathbf{x} : U \to M을 점 pMp \in M에 대한 좌표계라고 하자. 그러면 집합

B={xip:1in} \mathcal{B} = \left\{ \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : 1 \le i \le n \right\}

은 탄젠트 공간 TpMT_{p}M기저이다. 이때 xip:DR\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}다음과 같이 정의된다.

xipf:=(fx)uip,fD \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} f := \left. \dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p},\quad f \in \mathcal{D}

(u1,,un)(u_{1}, \dots, u_{n})R\mathbb{R}의 좌표이다.

증명

기저의 정의에 의해 B\mathcal{B}가 선형 독립이고, TpMT_{p}M을 생성함을 보이면 된다.

  • Part 1. 선형 독립

    좌표계 x:URnM\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M에 대해서 좌표함수 xi:MRx_{i} : M \to \mathbb{R}은 다음과 같다.

    x(u)=px1(p)=(x1(p),,xn(p))=(u1,,un) \mathbf{x}(\mathbf{u}) = p \\ \mathbf{x}^{-1}(p) = (x_{1}(p), \dots, x_{n}(p)) = (u_{1}, \dots, u_{n})

    이제 f=xjf = x_{j}라고 두면,

    fx(u)=xjx(u)=xj(x(u))=xj(p)=uj f \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j} \circ \mathbf{x}(\mathbf{u}) = x_{j}(\mathbf{x}(\mathbf{u})) = x_{j}(p) = u_{j}

    따라서

    xipxj=(xjx)uip=ujui=δij \left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = \left. \dfrac{\partial (x_{j} \circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \right|_{p} = \dfrac{\partial u_{j}}{\partial u_{i}} = \delta_{ij}

    이때 δij\delta_{ij}크로네커 델타이다.

    이제 방정식 cixip=0c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} = \mathbf{0}을 보자. 모든 ii에 대해서 ci=0c_{i} = 0이면 선형독립이다. 임의의 1jn1 \le j \le nxjx_{j}를 대입하면,

    0=0(xj)=cixipxj=ciδij=cj 0 = \mathbf{0}(x_{j}) = c_{i}\left. \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \right|_{p} x_{j} = c_{i}\delta_{ij} = c_{j}

    따라서 모든 jj에 대해서 cj=0c_{j} = 0이고, 다른 해는 존재하지않음을 알 수 있다. 따라서 B\mathcal{B}는 선형 독립이다.

  • Part 2. 생성

    fDf \in \mathcal{D}, a=x1(p)\mathbf{a} = \mathbf{x}^{-1} (p), F=fxF = f \circ \mathbf{x}라고 하자. 그러면 F:RnRF : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}이다.

    다변수 함수에 대한 테일러정리

    F(x)=F(a)+iFxi(a)(xiai)+i,jhij(x)(xiai)(xjaj) F(\mathbf{x}) = F(\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial x_{i}}(\mathbf{a})(x_{i} - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x})(x_{i} - a_{i}) (x_{j} - a_{j})

    위의 테일러 정리를 FF에 적용하면 다음이 성립한다. mMm \in M에 대해서,

    f(m)= Fx1(m)=F(x1(m))= F(a)+iFui(a)(xi(m)ai)+i,jhij(x1(m))(xi(m)ai)(xj(m)aj)= Fx1(p)+iFui(x1(p))(xi(m)ai)+hij(x1(m))(xi(m)ai)(xj(m)aj)= f(p)+i(xipf)(xi(m)ai)+hij(x1(m))(xi(m)ai)(xj(m)aj) \begin{align*} f(m) =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(m) = F ( \mathbf{x}^{-1}(m)) \\ =&\ F (\mathbf{a}) + \sum_{i} \dfrac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{a})(x_{i}(m) - a_{i}) + \sum_{i,j}h_{ij}(\mathbf{x}^{-1}(m))(x_{i}(m) - a_{i}) (x_{j}(m) - a_{j}) \\ =&\ F \circ \mathbf{x}^{-1}(p) + \sum_{i} \frac{\partial F}{\partial u_{i}}(\mathbf{x}^{-1}(p)) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \\ =&\ f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}(m)-a_{i}\right) +\sum h_{i j}(\mathbf{x}^{-1}(m))\left(x_{i}(m)-a_{i}\right)\left(x_{j}(m)-a_{j}\right) \end{align*}

    따라서 ff는 다음과 같은 매핑이다.

    f=f(p)+i(xipf)(xiai)+(hijx1)(xiai)(xjaj) f = f(p) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right)

    이를 탄젠트 벡터 X\mathbf{X}에 대입하면,

    X(f)=X(f(p))+i(xipf)X(xiai)+X[(hijx1)(xiai)(xjaj)] \mathbf{X}(f) = \mathbf{X}(f(p)) + \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) +\sum \mathbf{X}\left[ (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right)\left(x_{j}-a_{j}\right) \right]

    탄젠트 벡터는 미분 작용소로써 정의되기 때문에 상수함수 cc에 대해서 X(c)=0\mathbf{X}(c) = 0이다. 따라서 위 식의 첫번째 항은 00이다.

    Xp(fg)=f(p)Xp(g)+g(p)Xp(f) \mathbf{X}_{p}(fg) = f(p)\mathbf{X}_{p}(g) + g(p)\mathbf{X}_{p}(f)

    따라서 만약 f(p)=g(p)=0f(p)=g(p)=0이면,

    Xp(fg)=0 \mathbf{X}_{p}(fg) = 0

    또한 f=(hijx1)(xiai)f = (h_{i j} \circ \mathbf{x}^{-1})\left(x_{i}-a_{i}\right), g=(xjaj)g=\left(x_{j}-a_{j}\right)로 놓고 위 보조정리를 적용하, xi(p)=aix_{i}(p) = a_{i}이므로 세번째 항도 00이 됨을 알 수 있다. 그러므로 다음을 얻는다.

    X(f)= i(xipf)X(xiai)= i(xipf)(X(xi)X(ai))= i(xipf)X(xi)= iX(xi)xipf \begin{aligned} \mathbf{X}(f) =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}\left(x_{i}-a_{i}\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \left(\mathbf{X}(x_{i}) - \mathbf{X}(a_{i})\right) \\ =&\ \sum_{i} \left( \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \right) \mathbf{X}(x_{i}) \\ =&\ \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p} f \end{aligned}

        X=iX(xi)xip \implies \mathbf{X} = \sum_{i} \mathbf{X}(x_{i}) \left.\frac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{p}

    따라서 임의의 X\mathbf{X}B\mathcal{B}의 선형결합으로 나타나므로, TpMT_{p}MB\mathcal{B}에 의해 생성된다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p214 ↩︎