n차원 미분 다양체 위의 탄젠트 공간은 n차원 벡터공간이다
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개요
M을 n차원 미분 다양체, TpM을 점 p∈M 위의 탄젠트 공간이라고 하자. 탄젠트 공간은 벡터공간, 특히 n차원 벡터공간이 된다. 다음의 집합이 탄젠트 공간의 기저가 되며, 이 사실은 미분다양체를 공부하는데에 매우 유용하게 쓰인다.
B={∂xi∂p:1≤i≤n}
정리1
TpM은 R−벡터공간이다.
증명
벡터공간이 되기 위한 조건은 다음과 같이 열가지가 있는데, 이 중에서 몇 개만 해보자.
u,v,w∈V와 k,l∈F에 대해서,
(A1) u,v가 V의 원소이면 u+v도 V의 원소이다.
(A2) u+v=v+u
(A3) (u+v)+w=u+(v+w)
(A4) V내의 모든 u에 대해서, u+0=0+u=u를 만족하는 0이 V내에 존재한다.
(A5) V내의 모든 u에 대해서 u+v=v+u=0 를 만족하는 v가 V내에 존재한다.
(M1) u가 V의 원소이면 ku도 V의 원소이다.
(M2) k(u+v)=ku+kv
(M3) (k+l)u=ku+lu
(M4) k(lu)=(kl)(u)
(M5) 1∈F에 대해서, 1u=u
X,Y∈TpM이라고 하자. p에서 미분가능한 함수들의 집합을 D라고 하자.
D:={f:M→R∣functions on Mthat are differentiable at p}
벡터공간이 되려면 원소간의 합과 상수곱이 정의되어야 한다. 합과 상수곱을 다음과 같이 정의하자.
(X+Y)(f):=Xf+Yf(r⋅X)(f):=r⋅Xf,r∈R
(A1) X와 Y가 각각 D→R인 함수이므로 Xf,Yf∈R이다. 두 실수의 합은 실수이므로 X+Y:D→R이다. 따라서 X+Y∈TpM이다.
(M1) Xf∈R이고 r∈R이므로, r⋅Xf∈R이다. 따라서 rX:D→R이고, rX∈TpM이다.
(A4) 0:D→R을 0f=0(∀f∈D)과 같이 정의하자. 그러면
(X+0)(f)=Xf+0f=Xf
(A5) −X를 (−X)(f):=(−1)⋅Xf와 같이 정의하면, (M1)에 의해서 (−1)X∈TpM이고, X+(−X)=0가 성립한다.
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정리2
TpM은 n차원 벡터공간이다. 특히 x:U→M을 점 p∈M에 대한 좌표계라고 하자. 그러면 집합
B={∂xi∂p:1≤i≤n}
은 탄젠트 공간 TpM의 기저이다. 이때 ∂xi∂p:D→R은 다음과 같이 정의된다.
∂xi∂pf:=∂ui∂(f∘x)p,f∈D
(u1,…,un)는 R의 좌표이다.
증명
기저의 정의에 의해 B가 선형 독립이고, TpM을 생성함을 보이면 된다.
Part 1. 선형 독립
좌표계 x:U⊂Rn→M에 대해서 좌표함수 xi:M→R은 다음과 같다.
x(u)=px−1(p)=(x1(p),…,xn(p))=(u1,…,un)
이제 f=xj라고 두면,
f∘x(u)=xj∘x(u)=xj(x(u))=xj(p)=uj
따라서
∂xi∂pxj=∂ui∂(xj∘x)p=∂ui∂uj=δij
이때 δij는 크로네커 델타이다.
이제 방정식 ci∂xi∂p=0을 보자. 모든 i에 대해서 ci=0이면 선형독립이다. 임의의 1≤j≤n인 xj를 대입하면,
0=0(xj)=ci∂xi∂pxj=ciδij=cj
따라서 모든 j에 대해서 cj=0이고, 다른 해는 존재하지않음을 알 수 있다. 따라서 B는 선형 독립이다.
Part 2. 생성
f∈D, a=x−1(p), F=f∘x라고 하자. 그러면 F:Rn→R이다.
다변수 함수에 대한 테일러정리
F(x)=F(a)+i∑∂xi∂F(a)(xi−ai)+i,j∑hij(x)(xi−ai)(xj−aj)
위의 테일러 정리를 F에 적용하면 다음이 성립한다. m∈M에 대해서,
f(m)==== F∘x−1(m)=F(x−1(m)) F(a)+i∑∂ui∂F(a)(xi(m)−ai)+i,j∑hij(x−1(m))(xi(m)−ai)(xj(m)−aj) F∘x−1(p)+i∑∂ui∂F(x−1(p))(xi(m)−ai)+∑hij(x−1(m))(xi(m)−ai)(xj(m)−aj) f(p)+i∑(∂xi∂pf)(xi(m)−ai)+∑hij(x−1(m))(xi(m)−ai)(xj(m)−aj)
따라서 f는 다음과 같은 매핑이다.
f=f(p)+i∑(∂xi∂pf)(xi−ai)+∑(hij∘x−1)(xi−ai)(xj−aj)
이를 탄젠트 벡터 X에 대입하면,
X(f)=X(f(p))+i∑(∂xi∂pf)X(xi−ai)+∑X[(hij∘x−1)(xi−ai)(xj−aj)]
탄젠트 벡터는 미분 작용소로써 정의되기 때문에 상수함수 c에 대해서 X(c)=0이다. 따라서 위 식의 첫번째 항은 0이다.
Xp(fg)=f(p)Xp(g)+g(p)Xp(f)
따라서 만약 f(p)=g(p)=0이면,
Xp(fg)=0
또한 f=(hij∘x−1)(xi−ai), g=(xj−aj)로 놓고 위 보조정리를 적용하, xi(p)=ai이므로 세번째 항도 0이 됨을 알 수 있다. 그러므로 다음을 얻는다.
X(f)==== i∑(∂xi∂pf)X(xi−ai) i∑(∂xi∂pf)(X(xi)−X(ai)) i∑(∂xi∂pf)X(xi) i∑X(xi)∂xi∂pf
⟹X=i∑X(xi)∂xi∂p
따라서 임의의 X가 B의 선형결합으로 나타나므로, TpM은 B에 의해 생성된다.
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