📂고전역학

원운동

정의

원운동^{circular motion}이란, 하나의 점 입자가 고정된 점으로부터 일정한 거리를 유지하며 원 궤적을 그리는 운동을 말한다.

설명

끈에 매달린 물체를 빙글빙글 돌리는 것이 원운동의 대표적인 예이다. 원운동을 기술할 때는 각속도를 도입하는 것이 편리하다. 반지름이 $r$인 원 궤도 위에서 운동하는 입자가 $x$축으로부터 떨어진 각도를 $\theta$라 하자. 시간에 따른 $\theta$의 변화를 각속도^{angular velocity}라 하고, 주로 $\omega$라 표기한다.

$$ \omega = \dfrac{d \theta}{d t} $$

등속 원운동

속력이 일정한 원운동을 등속 원운동^{uniform circular motion}이라 한다. 속도가 일정한 운동이 아님에 주의하자.

등속 원운동은 재미있는 성질을 갖는데, 속력이 일정하지만 가속도가 존재하고 속도의 방향이 지속적으로 바뀐다는 것이다. 입자가 원을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간 $T$를 주기^period라 하면 각속도는 아래와 같다.

$$ \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{d\theta}{dt} = \dot{\theta} $$

극좌표계에서 선속도는 아래와 같다.

$$ \mathbf{v} = \dot{r}\hat{\mathbf{r}} + r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} $$

반지름은 일정하므로 $\dot{r} = 0$이다. 따라서 선속도과 각속도는 관계는 다음과 같다.

$$ \mathbf{v} = r\dot{\theta}\hat{\boldsymbol{\theta}} = r \omega \hat{\boldsymbol{\theta}}, \quad v = | \mathbf{v} | = r\omega $$

극좌표계에서 선가속도는 아래와 같다.

$$ \mathbf{a} = (\ddot r -r\dot{\theta}^{2})\hat{\mathbf{r}} + (2\dot{r} \dot{\theta} + r\ddot{\theta})\hat{\boldsymbol{\theta}} $$

여기서 $\dot{r} = 0$이고, 등속원운동이므로 $\ddot{\theta} = \dot{\omega} = 0$이다. 따라서 등속 원운동에서 입자의 가속도는 다음과 같다.

$$ \mathbf{a} = -r\dot{\theta}^{2}\hat{\mathbf{r}} = -r\omega^{2}\hat{\mathbf{r}}, \quad a = |\mathbf{a}| = r\omega^{2} $$