법곡률과 측지곡률

빌드업¹

$$ \left\{ T(s), N(s), B(s), \kappa (s), \tau (s) \right\} $$

곡선을 분석할 때 위와 같은 프레네-세레 도구를 썼던 것을 떠올려보자. 곡면에 대해 공부할 때도 이와 같은 것들을 생각해줄 것이다. $\boldsymbol{\alpha}$가 단위 속력 곡선일 때, 곡선의 곡률은 가속도 크기 $\kappa = \left| T^{\prime} \right| = \left| \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime} \right|$로 정의되었다. 곡면이 얼마나 휘어있는지는 알기 위해 곡면 위의 곡선이 얼마나 휘어있는지는 보는 것은 자연스러운 생각이다.

$\mathbf{x} : U\subset \R^{2} \to M$과 같이 주어진 곡면을 생각하자. $\boldsymbol{\alpha}(s)$를 단순 곡면 $\mathbf{x}$ 위의 단위 속력 곡선이라고 하자. 그러면 $\boldsymbol{\alpha}$의 프레네-세레 도구를 다음과 같이 표기하자.

$$ \left\{ \mathbf{T}, \mathbf{N}, \mathbf{B}, \kappa, \tau \right\} $$

점 $p \in M$에서의 단위 노멀을 $\mathbf{n}$이라고 하자. 점 $p$에서 $M$에 수직하는^{perpendicular to $M$}모든 벡터들의 집합을 $N_{p}M$이라고 하자.

$$ N_{p}M := \left\{ r \mathbf{n} : r \in \R \right\} = \left\{ \text{all vectors perpendicular to } M \text{ at } p \right\} $$

그러면 접평면의 정의에 의해 $T_{p}M$은 $N_{p}M$의 직교여공간이다.

$$ N_{p}M ^{\perp} = T_{p}M $$

따라서 $\R^{3}$는 다음과 같이 직교분해되고, $\boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}$는 다음과 같이 두 공간의 벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.

$$ \R^{3} = N_{p}M \oplus T_{p}M \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}(s) = n_{1}\mathbf{n}(s) + n_{2}\mathbf{n}^{\perp}(s)\quad (\mathbf{n}\in N_{p}M,\ \mathbf{n}^{\perp}\in T_{p}M) $$

$\mathbf{T} = \boldsymbol{\alpha}^{\prime}$를 탄젠트 벡터라고 하자. $\boldsymbol{\alpha}$는 단위 속력 벡터이므로 다음의 식이 성립한다.

$$ \left| \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) \right|^{2} = \left| \mathbf{T}(s) \right|^{2} = \left\langle \mathbf{T}, \mathbf{T} \right\rangle = 1 $$

양변을 미분하면 내적의 미분법에 의해 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \left\langle \mathbf{T}, \mathbf{T} \right\rangle^{\prime} =&\ 0 \\ \implies && \left\langle \mathbf{T}^{\prime}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \end{align*} $$

따라서 $\boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}$는 $\mathbf{T}$와 수직이다. $\boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}$를 분리해서 써보면, $\mathbf{n}$과 $\mathbf{T}$는 서로 수직이므로, 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle n_{1}\mathbf{n} + n_{2}\mathbf{n}^{\perp}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle n_{1}\mathbf{n}, \mathbf{T} \right\rangle + \left\langle n_{2}\mathbf{n}^{\perp}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \\ \implies && \left\langle n_{2}\mathbf{n}^{\perp}, \mathbf{T} \right\rangle =&\ 0 \end{align*} $$

따라서 $\mathbf{n}^{\perp}$은 $\mathbf{n}$과 $\mathbf{T}$ 모두와 수직하는 벡터라는 것을 알 수 있다. 따라서 벡터 $\mathbf{S}$를 다음과 같이 정의하자.

$$ \mathbf{S} := \mathbf{n}\times \mathbf{T} \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime} = n_{1}\mathbf{n} + s\mathbf{S} $$

$\mathbf{S}$를 $\boldsymbol{\alpha}$의 내재적 노멀^{intrinsic normal}이라 한다.

정의

$\mathbf{n}$의 성분 $n_{1}$을 단위 속력 곡선 $\boldsymbol{\alpha}$의 법곡률^{normal curvature}이라고 하고 $\kappa_{n}$이라 표기한다.

$$ \kappa_{n} := \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{n} \right\rangle $$

$\mathbf{S}$의 성분 $s$을 단위 속력 곡선 $\boldsymbol{\alpha}$의 측지곡률^{geodesic curvature}이라고 하고 $\kappa_{g}$라 표기한다.

$$ \kappa_{g} := \left\langle \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}, \mathbf{S} \right\rangle $$

따라서 다음의 식이 성립한다.

$$ \kappa (s) \mathbf{N}(s) = \mathbf{T}^{\prime}(s) = \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime}(s) = \kappa_{n}(s)\mathbf{n}(s) + \kappa_{g}(s)\mathbf{S}(s) $$

설명

법곡률 $\kappa_{n}$는 곡면 $M$이 $\R^{3}$에서 얼마나 휘어있는지를 측정^measure하는데 쓰인다. 측지곡률 $\kappa_{g}$는 곡선 $\boldsymbol{\alpha}$가 곡면 $M$에서 얼마나 휘어있는지를 측정하는데 쓰인다. 가령 측지곡률 $\kappa_{g}$가 $0$인 곡선은 곡면 위에서의 직선^geodesic을 의미하게 된다.

$\mathbf{n}, \mathbf{S}$가 단위벡터이므로, 위 정의에 의해서 다음의 식이 성립한다.

$$ \kappa^{2} = \kappa_{n}^{2} + \kappa_{g}^{2} $$