📂기하학

단순 곡면 위의 매개변수 곡선

정의^{1 2}

$\mathbf{x} : U \to \R^{3}$를 단순 곡면이라고 하자. $U$의 좌표를 $(u, v)$라고 하자. 임의의 점 $(u_{0}, v_{0})$에 대해서, 다음과 같은 곡선을 $v = v_{0}$에서의 $\mathbf{x}$의 $u-$매개변수 곡선^{$u-$parameter curve}라 한다.

$$u \mapsto \mathbf{x}(u, v_{0})$$

다음과 같은 곡선을 $u = u_{0}$에서의 $\mathbf{x}$의 $v-$매개변수 곡선^{$v-$parameter curve}라 한다.

$$v \mapsto \mathbf{x}(u_{0}, v)$$

점 $(u_{0}, v_{0})$에서 두 매개변수 곡선의 속도 벡터 $\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u} = \mathbf{x}_{u}=\mathbf{x}_{1}$, $\dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial v} = \mathbf{x}_{v}=\mathbf{x}_{2}$를 $(u_{0}, v_{0})$에서의 $\mathbf{x}$의 편속도벡터^{partial velocity vector}라고 한다.

설명

$U$의 좌표를 $(u^{1}, u^{2})$로도 많이 쓰기 때문에, 위 정의의 두 곡선을 각각 $u^{1}$-곡선, $u^{2}$-곡선이라고도 부른다.

정의에 의해 곡면 $\mathbf{x}$는 이러한 매개변수 곡선들의 패밀리에 의해 커버된다는 것을 알 수 있다.

이 두 매개변수 곡선으로 만들어지는 격자를 곡선좌표계^{curvilinear coordinate system}라 하며, 구좌표계나 원통좌표계가 이에 해당한다.