단순 곡면 위의 탄젠트 벡터
📂기하학 단순 곡면 위의 탄젠트 벡터 정의
좌표조각사상 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3 p = x ( a , b ) p = \mathbf{x}(a,b) p = x ( a , b ) X \mathbf{X} X p p p x ( U ) \mathbf{x}(U) x ( U ) 곡선 의 p p p 속도 벡터 이면 X \mathbf{X} X x \mathbf{x} x 탄젠트 벡터 tangent vector 라고 정의한다.
다시 말해 만약 임의의 ϵ > 0 \epsilon > 0 ϵ > 0 α : ( − ϵ , ϵ ) → x ( U ) ⊂ R 3 \boldsymbol{\alpha} : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbf{x}(U) \subset \mathbb{R}^{3} α : ( − ϵ , ϵ ) → x ( U ) ⊂ R 3
α ( 0 ) = p and α ′ ( 0 ) = d α d t ∣ t = 0 = X and α ( t ) = x ( α 1 ( t ) , α 2 ( t ) )
\boldsymbol{\alpha}(0) = p \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(0) = \left. \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t}\right|_{t=0}= \mathbf{X} \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha} (t) = \mathbf{x}\left( \alpha_{1}(t), \alpha_{2}(t) \right)
α ( 0 ) = p and α ′ ( 0 ) = d t d α t = 0 = X and α ( t ) = x ( α 1 ( t ) , α 2 ( t ) )
을 만족하면 X \mathbf{X} X x \mathbf{x} x 탄젠트 벡터 라고 한다.
설명 위와 같이 정의된 탄젠트 벡터들의 집합은 아래의 정리에 의해 벡터공간 이 되고, 이는 실제로 접평면 과 같다. 따라서 탄젠트 플랜은 탄젠트 공간 tangent space 이라 불린다.
곡면 M M M p ∈ M p \in M p ∈ M M M M T p M T_{p}M T p M 탄젠트 공간 tangent space 이라 한다.T p M = { all vectors tangent to M at p }
T_{p}M = \left\{ \text{all vectors tangent to } M \text{ at } p \right\}
T p M = { all vectors tangent to M at p }
이러한 정의 방식은 미분다양체 위에서의 탄젠트벡터 를 정의할 때도 그대로 사용된다. 처음 이 정의를 볼 때는 굳이 이러한 곡선 α \boldsymbol{\alpha} α
표기법 탄젠트 벡터의 표기로는 주로 X , Y \mathbf{X}, \mathbf{Y} X , Y 임의의 원소 로서 생각하기 때문인 것 같다.
점 p p p T p M T_{p}M T p M
X = X p = X 1 x 1 + X 2 x 2 = X i x i
\mathbf{X} = \mathbf{X}_{p} = X^{1} \mathbf{x}_{1} + X^{2}\mathbf{x}_{2} = \mathbf{X}^{i}\mathbf{x}_{i}
X = X p = X 1 x 1 + X 2 x 2 = X i x i
어떤 곡선 α \alpha α 탄젠트 벡터 필드 를 나타날 때:
T or T
\mathbf{T} \quad \text{or} \quad T
T or T
정리 좌표조각사상 x : U → R 3 \mathbf{x} : U \to \mathbb{R}^{3} x : U → R 3 p = x ( a , b ) p = \mathbf{x}(a,b) p = x ( a , b )
증명 벡터공간이 될 조건 중에서 합과 상수곱에 대해서 닫혀있는지만 확인해보면 된다. 탄젠트 벡터들의 함숫값은 R 3 \mathbb{R}^{3} R 3
X \mathbf{X} X Y \mathbf{Y} Y p p p x ( U ) \mathbf{x}(U) x ( U ) α , β \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} α , β
X = α ˙ ( 0 ) , Y = β ˙ ( 0 ) and α ( 0 ) = β = p = x ( a , b )
\mathbf{X} = \dot{\boldsymbol{\alpha}}(0), \mathbf{Y} = \dot{\boldsymbol{\beta}}(0) \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\alpha}(0) = \boldsymbol{\beta} = p = \mathbf{x}(a,b)
X = α ˙ ( 0 ) , Y = β ˙ ( 0 ) and α ( 0 ) = β = p = x ( a , b )
이제 α ( t ) = x ( α 1 ( t ) , α 2 ( t ) ) \boldsymbol{\alpha}(t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t)) α ( t ) = x ( α 1 ( t ) , α 2 ( t )) X \mathbf{X} X 연쇄법칙 에 의해,
X = α ˙ ( 0 ) = d α d t ( 0 ) = d x ( α 1 ( t ) , α 2 ( t ) ) d t ( 0 ) = ∂ x ∂ α 1 d α 1 d t ( 0 ) + ∂ x ∂ α 2 d α 2 d t ( 0 )
\begin{align*}
\mathbf{X} = \dot{\boldsymbol{\alpha}}(0) &= \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} (0) \\
&= \dfrac{d \mathbf{x}(\alpha^{1}(t), \alpha^{2}(t))}{d t} (0) \\
&= \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \alpha^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t}(0) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \alpha^{2}} \dfrac{d \alpha^{2}}{d t}(0)\\
\end{align*}
X = α ˙ ( 0 ) = d t d α ( 0 ) = d t d x ( α 1 ( t ) , α 2 ( t )) ( 0 ) = ∂ α 1 ∂ x d t d α 1 ( 0 ) + ∂ α 2 ∂ x d t d α 2 ( 0 )
U U U ( u 1 , u 2 ) (u^{1}, u^{2}) ( u 1 , u 2 )
X = ∂ x ∂ u 1 d α 1 d t ( 0 ) + ∂ x ∂ u 2 d α 2 d t ( 0 )
\mathbf{X} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t}(0) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \alpha^{2}}{d t}(0)
X = ∂ u 1 ∂ x d t d α 1 ( 0 ) + ∂ u 2 ∂ x d t d α 2 ( 0 )
비슷하게 Y \mathbf{Y} Y
Y = ∂ x ∂ u 1 d β 1 d t ( 0 ) + ∂ x ∂ u 2 d β 2 d t ( 0 )
\mathbf{Y} = \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \beta^{1}}{d t}(0) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \beta^{2}}{d t}(0)
Y = ∂ u 1 ∂ x d t d β 1 ( 0 ) + ∂ u 2 ∂ x d t d β 2 ( 0 )
이제 또다른 곡선 γ ( t ) = x ( α 1 ( t ) + β 1 ( t ) − a , α 2 ( t ) + β 2 ( t ) − b ) \boldsymbol{\gamma}(t) = \mathbf{x}(\alpha^{1}(t)+\beta^{1}(t)-a, \alpha^{2}(t)+\beta^{2}(t)-b) γ ( t ) = x ( α 1 ( t ) + β 1 ( t ) − a , α 2 ( t ) + β 2 ( t ) − b ) γ ˙ ( 0 ) = X + Y \dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X} + \mathbf{Y} γ ˙ ( 0 ) = X + Y
γ ˙ = d γ d t = ∂ x ∂ u 1 ( d α 1 d t + d β 1 d t ) + ∂ x ∂ u 1 ( d α 2 d t + d β 2 d t ) = ( ∂ x ∂ u 1 d α 1 d t + ∂ x ∂ u 2 d α 2 d t ) + ( ∂ x ∂ u 1 d β 1 d t + ∂ x ∂ u 2 d β 2 d t )
\begin{align*}
\dot{\boldsymbol{\gamma}} = \dfrac{d \boldsymbol{\gamma}}{d t} &= \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}}\left( \dfrac{d \alpha^{1}}{d t} + \dfrac{d \beta^{1}}{d t} \right) + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}}\left( \dfrac{d \alpha^{2}}{d t} + \dfrac{d \beta^{2}}{d t} \right) \\
&= \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \alpha^{1}}{d t} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \alpha^{2}}{d t} \right) + \left( \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{1}} \dfrac{d \beta^{1}}{d t} + \dfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial u^{2}} \dfrac{d \beta^{2}}{d t} \right)
\end{align*}
γ ˙ = d t d γ = ∂ u 1 ∂ x ( d t d α 1 + d t d β 1 ) + ∂ u 1 ∂ x ( d t d α 2 + d t d β 2 ) = ( ∂ u 1 ∂ x d t d α 1 + ∂ u 2 ∂ x d t d α 2 ) + ( ∂ u 1 ∂ x d t d β 1 + ∂ u 2 ∂ x d t d β 2 )
⟹ γ ˙ ( 0 ) = X + Y
\implies \dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X} + \mathbf{Y}
⟹ γ ˙ ( 0 ) = X + Y
그러면 γ ( 0 ) = x ( a , b ) = p \boldsymbol{\gamma}(0) = \mathbf{x}(a, b) = p γ ( 0 ) = x ( a , b ) = p γ ˙ ( 0 ) = X + Y \dot{\boldsymbol{\gamma}}(0) = \mathbf{X} + \mathbf{Y} γ ˙ ( 0 ) = X + Y X + Y \mathbf{X} + \mathbf{Y} X + Y p p p
r ∈ R r \in \mathbb{R} r ∈ R η ( t ) = α ( r t ) \boldsymbol{\eta}(t) = \boldsymbol{\alpha}(rt) η ( t ) = α ( r t ) t t t η ( t ) \boldsymbol{\eta}(t) η ( t ) x ( U ) \mathbf{x}(U) x ( U ) η ( 0 ) = α ( 0 ) = p \boldsymbol{\eta}(0) = \boldsymbol{\alpha}(0) = p η ( 0 ) = α ( 0 ) = p d η d t = r d α d t \dfrac{d \boldsymbol{\eta}}{d t} = r \dfrac{d \boldsymbol{\alpha}}{d t} d t d η = r d t d α η ˙ ( 0 ) = r X \dot{\boldsymbol{\eta}}(0) = r \mathbf{X} η ˙ ( 0 ) = r X r X r \mathbf{X} r X
탄젠트 벡터들의 집합이 합과 상수곱에 대해서 닫혀있으므로, 이는 벡터공간이다.
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