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미분 동형 사상 📂기하학

미분 동형 사상

정의1

M1,M2M_{1}, M_{2}미분 다양체 라고 하자. 함수 φ:M1M2\varphi : M_{1} \to M_{2}가 다음의 조건을 만족하면 미분동형사상diffeomorphism[디피어모피즘]이라 한다.

  1. φ\varphi미분가능하다.
  2. φ\varphi전단사 함수이다.
  3. φ1\varphi ^{-1}미분가능하다.

만약 점 pM1p \in M_{1}φ(p)\varphi(p)의 근방인 UUVV에 대해서 축소사상 φU:UV\varphi|_{U} : U \to V가 미분동형이면, φ\varphi국소미분동형사상local diffeomorphism이라 한다.

정리

M1n,M2nM_{1}^{n}, M_{2}^{n}nn차원 미분다양체라고 하자. ϕ:M1M2\phi : M_{1} \to M_{2}를 미분가능한 함수, pM1p \in M_{1}에 대해 dϕp:TpM1Tϕ(p)M2d\phi_{p} : T_{p}M_{1} \to T_{\phi (p)}M_{2}동형사상이라고 하자. 그러면 ϕ\phipp에서 국소미분동형사상이다.

증명

역함수 정리에 의해 성립한다.


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p10 ↩︎