교대 함수
📂함수교대 함수
정의
집합 X가 주어졌다고 하자. 다음을 만족하는 함수를 교대 함수alternating function라 한다.
ϕ:X×X×⋯×Xn→Rϕ(x1,…,xi,xi+1,…,xn)=−ϕ(x1,…,xi+1,xi,…,xn)
설명
이웃한 두 변수끼리 자리를 바꿀 때 함숫값의 부호가 바뀌는 함수이다. 물론 정의에 의해 이웃하지 않은 두 변수에대해서도 성립함을 보일 수 있다.
변수에 중복되는 원소가 하나라도 있으면 함숫값은 0이다.
성질
ϕ(x1,…,xi,…,xi+k,…,xn)=−ϕ(x1,…,xi+k,…,xi,…,xn)
ϕ가 교대함수일 필요충분 조건은 다음과 같다.
ϕ(x1,…,xi,xi,…,xn)=0
증명
증명 (1)
==⋮==⋮==ϕ(x1,…,xi,…,xi+k−1,xi+k,…,xn) −ϕ(x1,…,xi,…,xi+k,xi+k−1,…,xn) (−1)2ϕ(x1,…,xi,…,xi+k,xi+k−2,xi+k−1,…,xn) (−1)kϕ(x1,…,xi+k,xi,…,xi+k−2,xi+k−1,…,xn) (−1)k+1ϕ(x1,…,xi+k,xi+1,xi,…,xi+k−2,xi+k−1,…,xn) (−1)k+(k−1)ϕ(x1,…,xi+k,…,xi+k−1,xi,…,xn) −ϕ(x1,…,xi+k,…,xi+k−1,xi,…,xn)
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증명 (2)
⟺⟺ϕ(x1,…,xi,xi,…,xn)=2ϕ(x1,…,xi,xi,…,xn)=ϕ(x1,…,xi,xi,…,xn)= −ϕ(x1,…,xi,xi,…,xn) 0 0
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