📂동역학

고정점을 포함하지 않는 궤적은 적어도 하나의 0인 랴푸노프 지수를 가진다

정리

공간 $X = \mathbb{R}^{n}$ 와 연속인 함수 $f : X \to X$ 에 대해 다음과 같은 벡터필드가 미분 방정식으로 주어져 있다고 하자. $$\dot{x} = f(x)$$ 이 시스템의 트래젝터리 $x$ 가 $t \in [0, \infty)$ 에 대해 유계라 하자. 만약 $\left\{ x(t) \right\}$ 가 고정점을 포함하지 않는다면, $x$ 의 랴푸노프 스펙트럼 중 적어도 하나는 $0$ 이다.

설명

경험적으로, 수치적으로 랴푸노프 스펙트럼를 계산하다보면 그 중 하나는 $0$ 인 것을 자주 볼 수 있다. 이 사실은 1982년 하켄^Haken에 의해 증명되어 정리로써 발표되었다. 그 이유를 직관에 의존해서 기하적으로 설명하자면, 캐어릭하든 피리어딕하든 어떤 점 $x (t)$ 을 지나간 트래젝터리가 $T$ 시간이 지난 후 다시 $x (t)$ 와 아주 가까운 $x (t + T)$ 로 돌아온다는 점에서 자연스럽다고 할 수 있다. 만약 고정점으로 수렴했다면 모든 랴푸노프 스펙트럼은 음수였을 것이고, 발산한다면 양의 랴푸노프 지수를 가지고 있을 것이다. 그런데 고정점에 머물지도 않고 어딘가로 갔다가 다시 돌아오기도 한다는 것은 그 시스템에 $x (t + T)$ 를 과거에 있던 곳으로 되돌리는 어떤 힘이 있다는 의미고, 평균 센스에서 랴푸노프 지수가 하나 이상 $0$ 인 것도 이상할 게 없는 것이다.

증명 ¹

주어진 $x(t)$ 와 $f$ 의 자코비안 행렬 $J$ 에 대해 다음과 같이 변분 방정식을 정의하자. $$\dot{Y} = J \left( x \right) Y$$ $x$ 의 랴푸노프 지수 $\lambda$ 는 $Y$ 의 어떤 열벡터 $y(t)$ 에 대해 다음과 같이 정의된다. $$\lambda := \limsup_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} \log \left| y(t) \right|$$ 이제는 $y$ 를 어떤 벡터가 아니라 구체적으로 $y = \dot{x}$ 라 두겠다. 우선 $\dot{x} = f(x)$ 의 양변을 시간에 대해 미분해보면 연쇄법칙에 의해 $y = \dot{x}$ 가 $\dot{Y} = J Y$ 의 솔루션임을 확인할 수 있다. $$\begin{align*} & \ddot{x} (t) = \dot{f} \left( x (t) \right) \dot{x} (t) \\ \implies & \dot{y} (t) = J \left( x (t) \right) y (t) \end{align*}$$ 여기서 $\dot{f} \left( x (t) \right) \to J \left( x (t) \right)$ 은 $J$ 가 결국 $t$ 시점의 $x(t)$ 지점에서 $f$ 의 선형화라는 점에서 정당화된다. 대전제에서 $f$ 는 연속함수, $x$ 는 $t \in [0, \infty)$ 에서 바운드 되어 있다고 가정했으므로 $$\left| f (x) \right| < D$$ 를 만족하는 어떤 $D > 0$ 가 존재하고, $$\left| y \right| = \left| \dot{x} \right| = \left| f (x) \right| < D$$ 이므로 $$\lambda = \limsup_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} \log \left| y(t) \right| \le \limsup_{t \to \infty} {\frac{ 1 }{ t }} D = 0$$ 이다. 다시 말해, $\lambda \le 0$ 이다.

이제 $\lambda < 0$ 이라 가정하자. 리미트 슈프리멈의 정의에 따라 임의의 $\epsilon > 0$ 에 대해 다음을 만족하는 시점 $t_{0}$ 가 존재한다. $${\frac{ 1 }{ t }} \log \left| \dot{x} \right| < \lambda + \epsilon \qquad , \forall t > t_{0}$$ 이제 $\lambda$ 와 $0$ 사이에 존재하는 $\lambda '$ 가 $\lambda ' := \lambda + \epsilon < 0$ 을 만족하게끔 작은 $\epsilon$ 을 선택하고 다음과 같이 $\left| \dot{x} \right|$ 보다 크거나 같은 함수 $t$ 에 대한 함수 $v(t) := v_{0} e^{ - \left| \lambda ' \right| t}$ 을 정의하자. $$\left| \dot{x} \right| \le \left| v_{0} \right| e^{ - \left| \lambda ' \right| t} = \left| v(t) \right|$$ 이에 따르면 $t \to \infty$ 일 때 $\left| \dot{x} \right| \to 0$ 이어야 하고, 이는 곧 $x$ 가 고정점으로 수렴한다는 의미다. 그러나 $\left\{ x(t) \right\}$ 는 고정점을 포함하지 않는다고 가정했으므로, 남아있는 유일한 가능성은 $\lambda = 0$ 뿐이다.

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