📂산란이론

조머펠트 복사 조건

정의¹

$u$를 시간-조화파동이라고 하자. 다음의 식을 조머펠트 복사 조건^{Sommerfeld radiation condition}이라 한다.

$$ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{\partial u}{\partial r} - ik u \right) = 0 $$

설명

조머펠트 복사 조건은 헬름홀츠 방정식의 해 중에서 물리적으로 가능한 해가 만족하는 조건으로, 독일의 물리학자 조머펠트가 1912년 논문 Die greensche Funktion der Schwingungsgleichung(진동 방정식의 그린 함수)을 통해 제안하였다. 다시 말해 헬름홀츠 방정식의 해가 조머펠트 복사 조건을 만족하지 않으면 실제로 의미가 없다고 할 수 있다.

이 조건은 파동이 파원으로부터 점점 멀어져야한다는 의미를 가지고 있다. 즉 파동은 앞으로만 나아가야하지, 다시 되돌아오면 안된다는 것이다. 호수에 돌맹이를 던지는 상황을 생각해보자. 그러면 돌맹이가 호수에 빠진 그 지점을 중심으로부터 물결파가 퍼져나갈 것이다. 이때 우리는 현실에서 물결파가 갑자기 유턴을 하여 중심 방향으로 거꾸로 진행하는 일은 절대 일어나지 않음을 알고 있다.

조머펠트 복사 조건은 솔루션에 위에서 묘사한 상황을 잘 만족하도록 제약을 주는 것이다. 어떤 $u(x)$가 수학적으로는 헬름홀츠 방정식의 해가 될지언정, 그것이 거꾸로 움직이는 파동을 묘사하는 함수라면 물리적인 의미를 갖지 못한다. 간단한 상황에 대해서 위 조건을 실제로 적용해보자.

예시

$u(r)$을 [구면파]라고 하면, 다음의 두 해가 헬름홀츠 방정식 $\Delta u + k^{2}u=0$의 해가 된다.

$$ \begin{equation} u(r) = \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \end{equation} $$

대입해보면 쉽게 확인할 수 있다. 구면 좌표계에서 라플라시안은 다음과 같다.

$$ \nabla ^{2} u = \Delta u = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^{2}\frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} \phi} $$

이때 $u$를 구면파라고 했으므로 각도에 대해서는 무관하고, 라플라시안은 반지름에 대한 항만 남는다.

$$ \nabla ^{2} u = \Delta u = \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{d r} \left( r^{2}\frac{d u}{d r} \right) = \dfrac{2}{r}\dfrac{du}{dr} + \dfrac{d^{2}u}{dr^{2}} $$

이제 헬름홀츠 방정식에 $(1)$을 대입해보면 해가 됨을 알 수 있다.

$$ \begin{align*} & \Delta u + k^{2}u \\ =&\ \dfrac{2}{r}\dfrac{du}{dr} + \dfrac{d^{2}u}{dr^{2}} + k^{2}u \\ =&\ \dfrac{2}{r}\dfrac{d}{dr}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) + \dfrac{d^{2}}{dr^{2}}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) + k^{2}\left( \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \right) \\ =&\ \left( \pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} -2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + \dfrac{d}{dr}\left( \pm ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} - \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} \right) + k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \\ =&\ \left( \pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} -2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + \left( - k^{2} \dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} \mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}} +2 \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}} \right) + k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} \\ =&\ \left( {\color{red}\cancel{\color{black}\pm 2ik\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} {\color{blue}\bcancel{\color{black}-2\dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}}}} \right) + \left( {\color{green}\cancel{\color{black}- k^{2} \dfrac{e^{\pm ikr}}{r}}} {\color{red}\cancel{\color{black}\mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} {\color{red}\cancel{\color{black}\mp ik \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{2}}}} +{\color{blue}\bcancel{\color{black}2 \dfrac{e^{\pm ikr}}{r^{3}}}} \right) {\color{green}\cancel{\color{black}+ k^{2}\dfrac{e^{\pm ikr}}{r} }} \\ =&\ 0 \end{align*} $$

이때 복소 파동함수에서 $u_{+}(r)=\dfrac{e^{ikr}}{r}$는 $r$이 커지는 방향으로 진행하는 파동이고, $u_{-}(r)=\dfrac{e^{-ikr}}{r}$는 $r$이 작아지는 방향으로 진행하는 파동이다. 따라서 $u_{+}$는 똑바로, $u_{-}$는 거꾸로 나아가는 파동을 의미한다. 이때 $u_{+}$만 복사 조건을 만족한다면, 복사 조건이 물리적인 해의 성질을 잘 설명한다고 말할 수 있다. 확인해보면 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{du_{+}}{dr} - ik u_{+} \right) =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{d}{dr}\dfrac{e^{ikr}}{r} - ik \dfrac{e^{ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( ik\dfrac{e^{ikr}}{r} - \dfrac{e^{ikr}}{r^{2}} - ik \dfrac{e^{ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( - \dfrac{e^{ikr}}{r^{2}} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} - \dfrac{e^{ikr}}{r} \\ =&\ - \lim \limits_{r \to \infty} \dfrac{\cos kr + i \sin kr}{r} \\ =&\ 0 \end{align*} $$

따라서 $u_{+}$는 복사 조건을 만족한다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{du_{-}}{dr} - ik u_{-} \right) =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( \dfrac{d}{dr}\dfrac{e^{-ikr}}{r} - ik \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} r \left( -ik\dfrac{e^{-ikr}}{r} - \dfrac{e^{-ikr}}{r^{2}} - ik \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} - \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} \right) - \lim \limits_{r \to \infty} \left( \dfrac{e^{-ikr}}{r} \right) \\ =&\ \lim \limits_{r \to \infty} \left( -2ike^{-ikr} \right) \\ =&\ -2ik\lim \limits_{r \to \infty} \left( \cos kr -i \sin kr \right) \end{align*} $$

위 식은 발산하므로 $u_{-}$는 복사조건을 만족하지 않는다.