📂기하학

사영공간

정의¹

유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n+1}$에서 원점 $\mathbf{0}$을 지나는 모든 직선들의 집합을 $\mathbb{P}^{n}$이라 표기하고 프로젝티브 스페이스^{projective space, 사영공간}이라한다.

$$ \mathbb{P}^{n} := \left\{ \text{all straight lines passing through in } \mathbb{R}^{n+1} \right\} $$

설명

모듈라이 공간의 쉬운 예이다.

$$ (x_{1}, \dots, x_{n+1}) \sim (\lambda x_{1}, \dots, \lambda x_{n+1}),\quad \lambda \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\} $$

원점을 지나는 한 직선위의 점들은 서로 상수배이므로, 동치관계 $\sim$를 위와 같이 줄 수 있다. 또한 원점을 지나는 직선은 그 직선 위의 임의의 한 점에 의해 결정된다. 따라서 몫공간 $(\mathbb{R}^{n+1} - \left\{ 0 \right\}) / \sim$은 $n$차원 사영공간과 같음을 알 수 있다.

$$ \mathbb{P}^{n} = (\mathbb{R}^{n+1} - \left\{ 0 \right\} )/ \sim $$