📂기하학

사영공간

정의

체 $\mathbb{F}$ 위의 $(n+1)–$차원의 벡터공간 $V$에 대해서, 다음과 같은 동치관계 $\sim$에 의한 몫공간 $\mathbb{P}^{n}(\mathbb{K})$을 사영공간^{projective space}이라 한다.

$$ \mathbf{x} \sim \lambda \mathbf{x}, \qquad \lambda \in \mathbb{F}\setminus \left\{ 0 \right\} $$

$$ \mathbb{P}^{n}(\mathbb{K}) := (V \setminus \left\{ \mathbf{0} \right\}) / \sim $$

쉬운 정의

벡터공간 $V$에 대해서, 원점을 지나는 모든 직선들의 집합을 사영공간이라 한다.

설명

2차원 평면 혹은 3차원 공간에서 관찰자가 정확히 원점에 있다고 하자. 원점에서 출발해 곧게 뻗은 직선이 있다고 하면, 관찰자의 눈에는 이 직선위의 모든 점이 겹쳐져서 하나의 점으로 보일 것이다. 이것은 원점을 지나는 직선이 천구 위의 한 점과 대응된다는 것을 의미한다.

모듈라이 공간의 한 예이다.

실수 사영공간¹

유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n+1}$에서 원점 $\mathbf{0}$을 지나는 모든 직선들의 집합을 $\mathbb{P}^{n}$이라 표기하고 실수 사영공간이라한다.

$$ \mathbb{P}^{n} := \left\{ \text{all straight lines passing through in } \mathbb{R}^{n+1} \right\} $$

강조의 의미로 $\mathbb{R}\mathbb{P}^{n}$이라 쓰기도 한다.

$$ (x_{1}, \dots, x_{n+1}) \sim (\lambda x_{1}, \dots, \lambda x_{n+1}),\quad \lambda \in \mathbb{R}\setminus \left\{ 0 \right\} $$

$$ \mathbb{P}^{n} = (\mathbb{R}^{n+1} \setminus \left\{ 0 \right\} )/ \sim $$