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역문제란?

정의

초기 상태, 혹은 어떤 원인 $x$로부터 관측될 결과 $y$를 구하는 문제를 정문제^{forward problem}이라 한다. 반대로 관측된 결과 $y$로부터 그 원인 $x$를 찾는 문제를 역문제^{inverse problem}라고 한다.

수학적 정의

연산자 $A : X \to Y$에 대해서, $x \in X$가 주어질 때 마다 $y = Ax$를 만족하는 $y \in Y$를 구하는 문제를 정문제라고 한다. 반대로 $y = Ax$가 주어졌을 때, $x$를 구하는 문제를 역문제라고 한다. 이때 $A$를 전방 연산자^{forward operator}라 하고, $A^{-1}$를 역 연산자^{inverse operator}라고 한다.

설명

쉽게 말해서 주어진 $A$, $x$에 대해서 $y(= Ax)$를 구하는 것이 정문제이고, 주어진 $A$, $y$에 대해서 $y = Ax$를 만족하는 $x$를 구하는 것이 역문제이다. 역문제는 정문제에 비해 훨씬 어려운 경우가 많다. 이는 역문제가 정문제에 비해 더 많은 정보를 요구하기 때문이다. 예를들어 $A$의 역함수가 존재하지 않으면, 역문제는 무수히 많은 해를 가질 수 있다.

간단한 정문제의 예로는 초기 속도가 $v_{0}$인 물체가 $\theta$의 발사각도로 포물선 운동을 할 때 수평도달거리 구하기같은 것들이 있다. 여기서 역문제는 수평도달거리를 알 때, 초기속도와 발사각도를 구하는 것이 된다.

미분 방정식

다음과 같은 파동 방정식 의 초기값 문제를 생각해보자.

$$\begin{cases} \Delta u - u_{tt} = 0 &\text{in } \mathbb{R}^{n} \times (0, \infty) \\ u = f, u_{t} = 0 &\text{on } \mathbb{R}^{n} \times \left\{ t=0 \right\} \end{cases}$$

여기서 초기값 문제를 푸는 것, 그러니까 초기값 $f$가 주어져있을 때의 솔루션 $y$를 구하는 것이 정문제이다. 반대로 어떤 솔루션 $y$가 주어졌다고 할 때, 초기값 $f$를 구하는 것이 역문제이다.

만약 초기값 $f$에 따라서 솔루션 $y$가 유일하게 결정되면, 위의 초기값 문제 자체를 하나의 작용소로 보고 $W f = y$와 같이 표현할 수 있다. 그러면 주어진 파동방정식의 역문제를 푼다는 것은 $f = W^{-1}y$를 만족하는 역작용소 $W^{-1}$를 구하는 것과 같다. 그러면 솔루션 $y$를 알 때마다 초기값 $f$를 구할 수 있게된다.

적분 방정식

$$a = \int_{x_{0}}^{x_{1}} f(x)dx$$

위와 같은 적분식에서 함수 $f$가 주어질 때 마다 정적분 $a$를 계산하는 것이 정문제이다. 반대로 적분값 $a$가 주어져있을 때 위 식을 만족하는 함수 $f$를 찾는 것이 역문제이다. 보면 알겠지만 적분방정식은 풀기 상당히 어렵다.

소리를 듣고 북의 모양을 알 수 있는가?

유명한 예로 수학자 Mark Kac이 1966년에 발표한 논문 Can One Hear the Shape of a Drum?에서 다루는 주제인, 소리로부터 북의 모양을 맞추는 문제가 있다. 북의 모양을 원인(초기값)이라고 한다면, 소리가 결과(솔루션)이므로 북의 소리를 듣고 모양을 알아내는 것은 역문제라고 할 수 있다.