헬름홀츠 방정식
정의
다음의 편미분 방정식을 헬름홀츠 방정식Helmholtz equation이라 한다.
$$ \nabla^{2}u(x) + k^{2} u(x) = \Delta u(x) + k^{2} u(x) = (\Delta + k^{2} )u(x) = 0,\quad x \in \mathbb{R}^{n} $$
여기서 $\nabla ^{2} = \Delta$는 라플라시안이다.
설명
$-\Delta u = \lambda u$와 같은 꼴로 표현할 수도 있다. 이러한 꼴로 인하여 라플라스 오퍼레이터에 대한 고유값 방정식1이라 불리기도 한다.
파동 방정식으로부터 유도될 수 있기 때문에 reduced wave equation2이라 불리기도 한다.
파동 방정식에는 시간과 공간에 대한 미분이 모두 포함되어있지만, 헬름홀츠 방정식은 시간에 대한 항이 사라져 시간에 무관한, 공간 변수에만 의존하는 편미분방정식이다.
유도
파동 방정식은 다음과 같다.
$$ \Delta u(x,t) - \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u(x,t)}{\partial t^{2}} = 0 $$
이때 $c$는 파동의 속도를 의미한다.
방법1
파동 방정식의 해, 그러니까 파동함수는 다음과 같다.
$$ u (x,t) = u(x)u(t) = e^{ikx} e^{-i\omega t} = e^{i(kx - \omega t)} $$
이때 $x , t$는 각각 공간과 시간, $k, \omega$는 파수wave number와 각진동수angular frequency이다. 파동의 속도가 $c$일 때 다음의 관계가 성립한다.
$$ k = \dfrac{\omega}{c} $$
따라서 $u_{tt}(x,t)$를 구해보면 다음과 같다.
$$ u_{tt}(x,t) = \dfrac{\partial ^{2}}{\partial t^{2}}e^{i(kx - \omega t)} = (-i \omega)^{2}e^{i(kx - \omega t)} = -\omega^{2}e^{i(kx - \omega t)} $$
이를 파동 방정식에 대입하면 헬름홀츠 방정식을 얻는다.
$$ \begin{align*} && \Delta u - \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta e^{i(kx - \omega t)} + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}} e^{i(kx - \omega t)} =&\ 0 \\[1em] \implies && \left( \Delta e^{ikx} + k^{2} e^{ikx} \right) e^{-i\omega t}=&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta e^{ikx} + k^{2} e^{ikx}=&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) + k^{2} u(x) =&\ 0 \end{align*} $$
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방법2
파동 방정식을 $t$에 대해서 푸리에 변환하면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} && \Delta u(x,t) - \dfrac{1}{c^{2}}u_{tt}(x,t) =&\ 0 \\ \implies && \widehat{\Delta u}(x,\omega) - \dfrac{1}{c^{2}} \widehat{u_{tt}}(x,\omega) =&\ 0 \end{align*} $$
이때 두번째 항에 푸리에 변환의 성질 $\widehat{u^{\prime \prime}}(\omega) = - \omega^{2} \widehat{u}(\omega)$를 이용하면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} && \widehat{\Delta u}(x,\omega) + \dfrac{\omega^{2}}{c^{2}} \widehat{u}(x,\omega) =&\ 0 \\[1em] \implies && \widehat{\Delta u}(x,\omega) + k^{2} \widehat{u}(x,\omega) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x, t) + k^{2} u(x, t) =&\ 0 \end{align*} $$
$u(x,t)$가 변수분리된다고 가정하면,
$$ \begin{align*} && \Delta u(x, t) + k^{2} u(x, t) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) u(t) + k^{2} u(x) u(t) =&\ 0 \\[1em] \implies && \Delta u(x) + k^{2} u(x) =&\ 0 \end{align*} $$
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방법3
$u(x, t) = u(x)v(t)$와 같이 변수분리된다고 가정하고, 다음과 같이 식을 정리하자.
$$ \begin{align*} && \dfrac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}} =&\ \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial t^{2}} \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} v =&\ \dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{d^{2} v }{d t^{2}} u \\[1em] \implies && \dfrac{1}{u}\dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ \dfrac{1}{c^{2}} \dfrac{1}{v}\dfrac{d^{2} v }{d t^{2}} \end{align*} $$
그러면 좌변은 $t$에 무관하고, 우변은 $x$에 무관하므로 양변은 $x$와 $t$에 대해서 상수라는 것을 알 수 있다. 그 상수를 $-k^{2}$라고 하자. 그러면 다음을 얻는다.
$$ \begin{align*} && \dfrac{1}{u}\dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ -k^{2} \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} =&\ -k^{2}u \\[1em] \implies && \dfrac{d^{2} u}{d x^{2}} + k^{2}u =&\ 0 \end{align*} $$
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